Question

（1）設(shè)0＜x＜2，求函數(shù)y=

x(4-2x)

的最大值；
（2）求

4

a-2

+a的取值范圍；
（2）已知x＞0，y＞0，且x+y=1．求

3

x

+

4

y

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由基本不等式可得y=

x(4-2x)

=

2

•

x(2-x)

≤

2

•

x+2-x

2

=

2

，驗(yàn)證等號(hào)成立的條件即可；
（2）當(dāng)a＞2時(shí)，

4

a-2

+a=

4

a-2

+a-2+2≥2

4 a-2 •(a-2)

+2=6，當(dāng)a＜2時(shí)，

4

a-2

+a=-（

4

2-a

+2-a）+2≤-2

4 2-a •(2-a)

+2=-2，綜合可得；
（2）

3

x

+

4

y

=（

3

x

+

4

y

）（x+y）=7+

3y

x

+

4x

y

≥7+2

3y x • 4x y

=7+4

3

，驗(yàn)證等號(hào)成立的條件即可．

解答： 解：（1）∵0＜x＜2，∴0＜4-2x＜4，
∴y=

x(4-2x)

=

2

•

x(2-x)

≤

2

•

x+2-x

2

=

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2-x即x=1時(shí)取等號(hào)，
∴函數(shù)y=

x(4-2x)

的最大值為

2

；
（2）當(dāng)a＞2時(shí)，

4

a-2

+a=

4

a-2

+a-2+2≥2

4 a-2 •(a-2)

+2=6，
當(dāng)且僅當(dāng)

4

a-2

=a-2即a=4時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)a＜2時(shí)，

4

a-2

+a=

4

a-2

+a-2+2=-（

4

2-a

+2-a）+2
≤-2

4 2-a •(2-a)

+2=-2，
當(dāng)且僅當(dāng)

4

2-a

=2-a即a=0時(shí)取等號(hào)，
∴

4

a-2

+a的取值范圍為（-∞，-2]∪[6，+∞）；
（2）∵x＞0，y＞0，且x+y=1．
∴

3

x

+

4

y

=（

3

x

+

4

y

）（x+y）=7+

3y

x

+

4x

y

≥7+2

3y x • 4x y

=7+4

3

當(dāng)且僅當(dāng)

3y

x

=

4x

y

時(shí)取等號(hào)，
∴

3

x

+

4

y

的最小值為：7+4

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式求最值，注意等號(hào)成立的條件是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．