Question

已知f（x）=ax²+bx+c（a＞0），當(dāng)|x|≤1時，|f（x）|≤1．
（1）證明|c|≤1；
（2）若a²+b²+4=4a+4b-2ab成立，請先求出c的值，并利用c值的特點求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）在f（x）=ax²+bx+c（a＞0）中，c=f（0），利用當(dāng)|x|≤1時，|f（x）|≤1，證出|c|≤1．
（2）將a²+b²+4=4a+4b-2ab變形得到（a+b-2）²=0，得a+b=2，代入|f（1）|≤1，結(jié)合-1≤c≤1，利用夾逼的思想求c．進(jìn)而根據(jù)對稱性，最值等幾何性質(zhì)確定a，b，得出解析式．

解答：解：（1）∵|x|≤1時|f（x）|≤1，
∴|f（0）|≤1，
∴即|f（0）|=|c|≤1．
（2）由a²+b²+4=4a+4b-2ab得到（a+b-2）²=0，
即a+b=2  ①，
又∵|x|≤1時，|f（1）|≤1，
即-1≤a+b+c≤1，
將a+b=2代入上式得-3≤c≤-1，
又∵-1≤c≤1，∴c=-1．
又f（0）=c=-1，|x|≤1時f（x）≥1，
∴f（x）≥f（0）對|x|≤1均成立．
∴x=0為函數(shù)f（x）為對稱軸，
∴-

b

2a

=0，解得b=0．
又∵a+b=2，∴a=2，
∴a=2，b=0，c=-1，
∴f（x）=2x²-1．

點評：本題靈活的考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，以及二次函數(shù)和不等式結(jié)合，提高了難度．