Question

已知點(diǎn)G（5，4），圓C₁：（x-1）²+（x-4）²=25，過(guò)點(diǎn)G的動(dòng)直線l與圓C₁相交于E、F兩點(diǎn)，線段EF的中點(diǎn)為C．
（1）求點(diǎn)C的軌跡C₂的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線l₁與C₂相交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M；又l₁與l₂：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，求證|AM|•|AN|為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

專(zhuān)題：綜合題,直線與圓

分析：（1）利用

C1C

•

CG

=0，即可求點(diǎn)C的軌跡C₂的方程；
（2）分別聯(lián)立相應(yīng)方程，求得M，N的坐標(biāo)，再求

AM

•

AN

．

解答： （1）解：圓C₁：（x-1）²+（x-4）²=25，圓心C₁（1，4），半徑為5，
設(shè)C（x，y），則

C1C

=（x-1，y-4），

CG

=（5-x，4-y），
∵

C1C

•

CG

=0，
∴（x-1）（5-x）+（y-4）（4-y）=0，即：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴點(diǎn)C的軌跡C₂的方程為：（x-3）²+（y-4）²=4；
（2）證明：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設(shè)直線方程為kx-y-k=0
與x+2y+2=0聯(lián)立可得N（

2k-2

2k+1

，-

3k

2k+1

），
又直線CM與l₁垂直，

y=kx-k y-4=- 1 k (x-3)

得M（

k2+4k+3

1+k2

，

4k2+2k

1+k2

）．
∴|AM|•|AN|=

AM

•

AN

=

2|2k+1|

1+k2

•

1+k2

•

3 1+k2

|2k+1|

=6為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及直線與直線的交點(diǎn)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．．