Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b≥0，c∈R）．若f（x）的定義域為[-1，0]時，值域也是[-1，0]，符合上述條件的函數(shù)f（x）是否存在？若存在，求出若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b≥0，c∈R）的對稱軸是x=-

b

2

，定義域為[-1，0]，按照對稱軸在定義域[-1，0]內(nèi)、在[-1，0]的左邊和在[-1，0]的右邊三種情況分別求函數(shù)的值域，令其和題目條件中給出的值域相等，求b和c．

解答：解：設(shè)符合條件的f（x）存在，
∵函數(shù)圖象的對稱軸是x=-

b

2

，
又b≥0，∴-

b

2

≤0．
①當(dāng)-

1

2

＜-

b

2

≤0，即0≤b＜1時，
函數(shù)x=-

b

2

有最小值-1，則

f(- b 2 )=-1 f(-1)=0

?

b2 4 - b2 2 +c=-1 1-b+c=0

?

b=0 c=-1

或

b=4 c=3

（舍去）．
②當(dāng)-1＜-

b

2

≤-

1

2

，即1≤b＜2時，則

f(- b 2 )=-1 f(0)=0

?

b=2 c=0

（舍去）或

b=-2 c=0

（舍去）．
③當(dāng)-

b

2

≤-1，即b≥2時，函數(shù)在[-1，0]上單調(diào)遞增，則

f(-1)=-1 f(0)=0

解得

b=2 c=0.

綜上所述，符合條件的函數(shù)有兩個，
f（x）=x²-1或f（x）=x²+2x．

點評：本題考查二次函數(shù)在特定區(qū)間上的值域問題，及分類討論思想，難度一般．