Question

素材1:函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ≤π)；

素材2:函數(shù)f（x）是偶函數(shù);

素材3:函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)M（，0）對(duì)稱；

素材4:函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,］上是單調(diào)函數(shù).

先將上面的素材構(gòu)建成一個(gè)問題，然后再解答.

Answer 1

構(gòu)建問題：已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)

(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（，0）對(duì)稱，且在區(qū)間［0,］上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值.

解析：由f(x)是偶函數(shù)，得f(-x)=f(x),

即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ).所以-cosφsinωx=cosφsinωx對(duì)任意x都成立，且ω＞0.所以得cosφ=0.依題設(shè)0≤φ≤π,所以解得φ=.由f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得f(-x)=-f( +x).

取x=0,得f（）=-f().

∴f()=0.

∵f()=sin(+)=cos.

∴cos=0.又ω＞0,

得=+kπ,k=0,1,2….

∴ω=(2k+1),k=0,1,2….

當(dāng)k=0時(shí)，ω=,f(x)=sin(x+)在［0,］上是減函數(shù)；

當(dāng)k＝1時(shí)，ω=2,f(x)=sin(2x+)在［0,］上是減函數(shù)；

當(dāng)k≥2時(shí) ，ω≥,f(x)=sin(ωx+)在［0,］上不是單調(diào)函數(shù).

綜上，得ω=或ω=2.