分析:(1)本題適合建立空間坐標系得用向量法解決這個立體幾何問題,建立空間坐標系,給出有關(guān)點的坐標,設(shè)出點F的坐標,求異面直線AE與A1F的方向向量,利用利用夾角公式求異面直線AE與A1F所成角的余弦值即可.
(2)分別同平面AEF的法向量為和平面A1EF的一個法向量.再根據(jù)平面AEF⊥平面A1EF,得出向量的數(shù)量積為0,即可求解得λ的值.
解答:![精英家教網(wǎng)](http://thumb.zyjl.cn/pic3/upload/images/201011/36/067c1445.png)
解:建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz.
(1)設(shè)a=1,則AB=AC=1,AA
1=3,
各點的坐標為A(0,0,0),E(1,0,1),
A
1(0,0,3),F(xiàn)(0,1,2).
=(1,0,1),
=(0,1,-1).
∵
||=||=,
•=-1,
∴
cos?,?===-.
∴向量
和
所成的角為120
o,
∴異面直線AE與A
1F所成角為60°;(4分)
(2)∵
E(a,0,),
F(0,a,),
∴
=(a,0,),=(0,a,).
設(shè)平面AEF的法向量為n
1(x,y,z),
則
n1•=0,且
n1•=0.
即
ax+=0,且
ay+=0.
令z=1,則
x=-,y=-.
∴
n1=(-,-,1)=
(-,-,1)是平面AEF的一個法向量.(6分)
同理,
n2=(,,1)=
(,,1)是平面A
1EF的一個法向量.(8分)
∵平面AEF⊥平面A
1EF,∴n
1•n
2=0.∴
--+1=0.
解得,
λ=.
∴當平面AEF⊥平面A
1EF時,
λ=.
點評:考查用空間向量為工具解決立體幾何問題,此類題關(guān)鍵是找清楚線的方向向量、面的法向量以及這些向量內(nèi)積為0、共線等與立體幾何中線面、面面位置關(guān)系的對應(yīng),考查空間想象能力和思維能力.