已知數(shù)列{an}滿足:,(n∈N*),數(shù)列{bn}=1-{an}2(n∈N*),數(shù)列{cn}={an+1}2-{an}2
(n∈N*).
(1)證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式;
(3)是否存在數(shù)列cn的不同項(xiàng)ci,cj,ck(i<j<k),使之成為等差數(shù)列?若存在請求出這樣的不同項(xiàng)ci,cj,ck(i<j<k);若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)由已知an≠±1,bn≠0,,3(1-an+12)=2(1-an2),an+12=+an2,,由此能夠證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.
(2)由,知,由此能求出{cn}的通項(xiàng)公式.
(3)假設(shè)存在ci,cj,ck滿足題意成等差2cj=ci+ck代入得,左偶右奇不可能成立.所以假設(shè)不成立,故這樣三項(xiàng)不存在.
解答:解:(1)由已知an≠±1,bn≠0(n∈N*,3(1-an+12)=2(1-an2
an+12=+an2
所以{bn}是為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列
(2)
(3)假設(shè)存在ci,cj,ck滿足題意成等差2cj=ci+ck代入得,左偶右奇不可能成立.所以假設(shè)不成立,這樣三項(xiàng)不存在.
點(diǎn)評:本題考查等比數(shù)列的證明、求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和等差中項(xiàng)的綜合運(yùn)用,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)思考,注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
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2n-1
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