設(shè)函數(shù)f（x）=x+logax，
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）解不等式log2(x2-x)＜3+x-x2．
分析：（1）求出f（x）的定義域，然后在分a＞1及）＜a＜1兩種情況在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）log2(x2-x)+x2-x＜3，又f（2）=3，所以該不等式可化為f（x2-x）＜f（2），由（1）利用函數(shù)單調(diào)性即可解得不等式．
解答：解．（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=1+
1
xlna
，
當(dāng)a＞1時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜1時，由f′（x）＞0，解得x＞-
1
lna
，由f′（x）＜0，解得0＜x＜-
1
lna
．
所以f（x）在（0，-
1
lna
）上單調(diào)遞減，在（-
1
lna
，+∞）上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)a＞1時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)0＜a＜時，f（x）的減區(qū)間是（0，-
1
lna
），增區(qū)間是（-
1
lna
，+∞）．
（2）原不等式可化為log2(x2-x)+x2-x＜3．
由（1）知f（t）=t+log2t在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（2）=3，
所以log2(x2-x)+x2-x＜3可化為f（x2-x）＜f（2），
所以0＜x2-x＜2，解得1＜x＜2．
所以原不等式的解集為{x|1＜x＜2}．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及應(yīng)用單調(diào)性解抽象不等式，（2）問解決關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若存在非零實(shí)數(shù)t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調(diào)函數(shù)．如果定義域?yàn)閇0，+∞）的函數(shù)f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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