Question

已知橢圓，直線．P是l上點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|=|OR|²，當(dāng)點(diǎn)P在l上移動時，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：由題設(shè)知點(diǎn)Q不在原點(diǎn)．設(shè)P、R、Q的坐標(biāo)分別為(xP，yP)，(xR，yR)，(x，y)，其中x，y不同時為零． 當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時，由于點(diǎn)R在橢圓上及點(diǎn)O、Q、R共線，得方程組 解得 　　 　　 　　 ① 　　   　　   　　 ② 　　 　　   由于點(diǎn)P在直線l上及點(diǎn)O、Q、P共線，得方程組 　　 　　 　　 ③ 　　   　　   　　 ④ 　　 　　   解得 當(dāng)點(diǎn)P在y< span style='mso-bidi-font-size:10.5pt;font-family:宋體;mso-ascii -font-family:"Times New Roman"; mso-hansi-font-family:"Times New Roman";color:black'>軸上時，經(jīng)驗(yàn)證①－④式也成立． 由題設(shè)|OQ|·|OP|=|OR|2，得 將①－④代入上式，化簡整理得 因x與xp同號或y與同號，以及③、④知2x+3y>0，故點(diǎn)Q的軌跡方程為 (其中x，y不同時為零)． 所以點(diǎn)Q的軌跡是以(1，1)為中心，長、短半軸分別為和且長軸與x軸平行的橢圓、去掉坐標(biāo)原點(diǎn)． 解法二：由題設(shè)知點(diǎn)Q不在原點(diǎn)．設(shè)P，R，Q的坐標(biāo)分別為(xp，yp)，(xR，yR)，(x，y)，其中x，y不同時為零． 設(shè)OP與x軸正方向的夾角為α，則有     xp=|OP|cosα，yp=|OP|sinα；     xR=|OR|cosα，yR=|OR|sinα； x=|OQ|cosα，y=|OQ|sinα； 由上式及題設(shè)|OQ|·|OP|=|OR|2，得 　　 　　 　　 ① 　　   　　   　　 ② 　　   　　   　　 ③ 　　   　　   　　 ④ 　　 　　   由點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)R在橢圓上，得方程組 ，    ⑤ ，    ⑥ 將①，②，③，④代入⑤，⑥，整理得點(diǎn)Q的軌跡方程為 (其中x，y不同時為零)． 所以點(diǎn)Q的軌跡是以(1，1)為中心，長、短半軸分別為和且長軸與x軸平行的橢圓、去掉坐標(biāo)原點(diǎn)．