Question

已知橢圓

x2

20

+

y2

8

=1的兩個焦點為F₁、F₂，點P在此橢圓上，且PF₁⊥PF₂，則△PF₁F₂的面積為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓的定義和勾股定理建立關(guān)于m、n的方程組，平方相減即可求出|PF₁|•|PF₂|=16，結(jié)合直角三角形的面積公式，可得△PF₁F₂的面積S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|，得到本題答案．

解答： 解：∵橢圓方程為圓

x2

20

+

y2

8

=1，
∴a²=20，b²=8，可得c²=a²-b²=12，即a=2

5

，c=2

3

設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵PF₁⊥PF₂，得∠F₁PF₂=90°
則有

m+n=2a=4 5 m2+n2=(2c)2=48

，
即（m+m）²=m²+n²+2mn，
則80=48+2mn
得2mn=32，即mn=16，
∴|PF₁|•|PF₂|=16．
∴△PF₁F₂的面積S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=

1

2

×16=8．
故答案為：8

點評：本題給出橢圓的焦點三角形為直角三角形，求它的面積，著重考查了勾股定理、橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識．