Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率是

1

2

，且左頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)F的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，A、B在右準(zhǔn)線l上的射影分別為M、N．求證：AN與BM的交點(diǎn)在x軸上．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由題意得

c

a

=

1

2

，a+c=3，可得a，c，再由a²=b²+c²可得b；
（2）：①當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，易證明；②當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，得（4k²+3）x²-8k²x+（4k²-12）=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），寫出直線AN、BM的方程聯(lián)立，及韋達(dá)定理可求得AN與BM的交點(diǎn)，由其坐標(biāo)可得結(jié)論；

解答：（1）解：設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則由

c

a

=

1

2

，a+c=3，得a=2，c=1，b²=3，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）證明：①當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，AB的坐標(biāo)分別為(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)，AN與BM的交點(diǎn)為(

5

2

，0)在x軸上．
②當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，得（4k²+3）x²-8k²x+（4k²-12）=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則M（4，y₁），N（4，y₂），且

x1+x2= 8k2 4k2+3 x1x2= 4k2-12 4k2+3

，
∵直線AN方程是

y-y1

y2-y1

=

x-x1

x2-x1

，直線BM方程是

y-y1

y2-y1

=

x-4

x2-4

．
聯(lián)立，得

y-y1 y2-y1 = x-x1 4-x1 y-y1 y2-y1 = x-4 x2-4

，消去y，得：

x-4

x2-4

=

x-4

x2-4

．
即（x₁+x₂-8）x=x₁x₂-16，即x=

x1x2-16

x1+x2-8

=

5

2

，
把x=

5

2

代入直線AN的方程

y-y1

y2-y1

=

x-x1

4-x1

，
得y=y1+

y2-y1

4-x1

(

5

2

-x1)=

3 2 y1+ 5 2 y2-x1y2

4-x1

=

k[ 5 2 (x1+x2)-x1x2-4]

4-x1

=0，
∴AN與BM交于點(diǎn)(

5

2

，0)是x軸上一定點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的方程及性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，難度較大．