Question

如圖所示，在底面是菱形的四棱錐P―ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=，PB=PD=．點E在PD上，且PE：ED=2：1．

(1)求證：PA⊥平面ABCD；

(2)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大��；

(3)在棱PC上是否存在一點F，使BF//平面AEC，并證明你的結論．

Answer 1

解：(1)∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AD=AC=．

在△PAB中，由PA²+AB²=2²=PB²，知PA⊥AB．同理PA⊥A D．

    ∴PA⊥平面ABCD．

(2)如圖1)所示．作EG∥PA交AD于G．由PA⊥平面ABCD，

知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于點H，

連接EH，則EH⊥AC，∴∠EHG為二面角的平面角．

EG=,AG=，GH=AGsin60°=．

從而，即=30°．

(3)如圖2）所示，當F是棱PC的中點時，BF//平面AEC．

證明如下：取PE的中點M．連接FM，則FM//CE．

由EM=PE=ED，知E是MD的中點．

    連接BM、BD，設BDAC=O，則O為BD的中點，∴BM//OE．

∴平面BFM//平面AEC．又BF平面BFM，

∴BF∥平面AEC．