（本題滿分14分）如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，,點(diǎn)E為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：；

（III）在線段AB上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出

的長；若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】第一問中利用線面平行的判定定理可知，只要證明//，那么可以得證。

第二問中，利用線面垂直度性質(zhì)定理得到線線垂直關(guān)系是證明

第三問中，假設(shè)存在點(diǎn)點(diǎn)，使二面角的大小為，可以建立空間直角坐標(biāo)系，借助于法向量的夾角表示二面角的平面角的大小得到點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：（Ⅰ） , 點(diǎn)E為的中點(diǎn),連接。

的中位線 // ……2分

又           …………4分

（II）正方形中, ,     由已知可得：，

      ,

     ………………………9分

（Ⅲ）由題意可得：,以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

設(shè)，

設(shè)平面的法向量為，

則得，

取平面的一個(gè)法向量，

而平面的一個(gè)法向量為，二面角的大小為，，

故當(dāng)時(shí)，二面角的大小為………………………14分

 

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（本題滿分14分）如圖2,為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪，另外△AEF內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)域不能占用，經(jīng)過測量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,應(yīng)該如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？

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   （1）求證：；

   （2）當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時(shí)，求證：CF//平面AEB1；

   （3）在棱CC1上是否存在點(diǎn)E，使得二面角A—EB1—B的大小是45°，若存在，求CE的長，若不存在，請說明理由。

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（本題滿分14分）如圖，正方形、的邊長都是1，平面平面，點(diǎn)在上移動，點(diǎn)在上移動，若（）

（I）求的長；

（II）為何值時(shí)，的長最��；

（III）當(dāng)的長最小時(shí)，求面與面所成銳二面角余弦值的大小.

 

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   （1）求證：EF//平面ABC；

   （2）求證：平面平面C1CBB1；

   （3）求異面直線AB與EB1所成的角。

 

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