Question

已知函數(shù)f（x）=asinx-bcosx在x=

π

4

時取得極值，則函數(shù)y=f（

3π

4

-x）是（　�。�

• A、奇函數(shù)且圖象關于點（π，0）對稱
• B、偶函數(shù)且圖象關于點（

  3π

  2

  ，0）對稱
• C、奇函數(shù)且圖象關于點（

  3π

  2

  ，0）對稱
• D、偶函數(shù)且圖象關于點（-π，0）對稱

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的對稱性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由條件可得，f（

π

4

）=

2

2

（a-b）且為最值，再由兩角和的正弦公式可得f（x）的最值為±

a2+b2

，得到方程，解出a，b的關系，化簡f（x），即可得到所求函數(shù)的表達式，即可判斷奇偶性和對稱性．

解答： 解：已知函數(shù)f（x）=asinx-bcosx在x=

π

4

時取得極值，
則f（

π

4

）=

2

2

（a-b）且為最值，
由asinx-bcosx=

a2+b2

sin（x+θ），
即有±

a2+b2

=

2

2

（a-b），
即有b=-a，
f（x）=a（sinx+cosx）=

2

asin（x+

π

4

），
則f（

3π

4

-x）=

2

asin（π-x）=

2

asinx．
則函數(shù)y=f（

3π

4

-x）為奇函數(shù)，對稱中心為（kπ，0），k∈Z．
故選A．

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查三角函數(shù)的最值和奇偶性和對稱性，考查兩角和的正弦公式，屬于中檔題．