Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x2+mx﹣3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）．當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題：
（1）以AB為直徑的圓能否經(jīng)過(guò)點(diǎn)C？說(shuō)明理由；
（2）過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：以AB為直徑的圓不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，理由如下：

二次函數(shù)y=x2+mx﹣3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A（x1，0），B（x2，0），

則x1x2=﹣3，

又C的坐標(biāo)為（0，1），

故AC的斜率與BC的斜率之積為 =﹣ ，

所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，以AB為直徑的圓不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C

（2）解：設(shè)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），

將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)帶入，

得x12+Dx1+F=0，x22+Dx2+F=0，1+E+F=0．

∴x1x2=﹣3=F，

從而E=2，

∴圓的方程為x2+y2+Dx+2y﹣3=0，令x=0，

得y2+2y﹣3=0，

∴y1=﹣3，y2=1，

進(jìn)而得到圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)是定值為4

【解析】（1）以AB為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，只需判斷AC所在直線(xiàn)與BC所在直線(xiàn)是否垂直，即兩直線(xiàn)的斜率積是否為-1.若積為-1，那么兩條線(xiàn)段互相垂直即經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，否則不經(jīng)過(guò)；（2）先設(shè)出圓的一般方程，再將點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)代入進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，令x=0進(jìn)而得到圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)值.
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小．