Question

【題目】（1）在經(jīng)典的氫原子模型中，電子圍繞原子核做圓周運(yùn)動(dòng)，電子的向心力來自于核電場(chǎng)的作用. 可是，經(jīng)典的電磁理論表明，電子做加速運(yùn)動(dòng)會(huì)發(fā)射電磁波，其發(fā)射功率可表示為（拉莫爾公式）：，其中為電子的加速度，為真空光速，，電子電荷量絕對(duì)值. 若不考慮相對(duì)論效應(yīng)，試估計(jì)在經(jīng)典模型中氫原子的壽命.（實(shí)驗(yàn)測(cè)得氫原子的結(jié)合能是，電子的靜止質(zhì)量）

（2）帶電粒子加速后發(fā)射的電磁波也有重要的應(yīng)用價(jià)值. 當(dāng)代科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛的同步輻射即是由以接近光速運(yùn)動(dòng)的電子在磁場(chǎng)中做曲線運(yùn)動(dòng)改變運(yùn)動(dòng)方向時(shí)所產(chǎn)生的電磁輻射. 電子存儲(chǔ)環(huán)是同步輻射光源裝置的核心，存儲(chǔ)環(huán)中的電子束團(tuán)通過偏轉(zhuǎn)磁鐵等裝置產(chǎn)生高性能的同步輻射光. 上海光源是近年來建成的第三代同步輻射光源，它的部分工作參數(shù)如下：環(huán)內(nèi)電子能量，電子束電流強(qiáng)度，周長(zhǎng)，單元數(shù)（裝有偏轉(zhuǎn)磁鐵的彎道數(shù)量），偏轉(zhuǎn)磁鐵磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度.試計(jì)算該設(shè)備平均每個(gè)光口的輻射總功率.（在電子接近光速時(shí)，若動(dòng)量不變，牛頓第二定律仍然成立，但拉莫爾公式不再適用，相應(yīng)的公式變化為，其中，為電子總能量，為電子的靜止能量）

（3）由于存儲(chǔ)環(huán)內(nèi)電子的速度接近光速，所以同步輻射是一個(gè)沿電子軌道的切線方向的光錐，光錐的半頂角為，由此可見電子的能量越高，方向性越好. 試計(jì)算：上述設(shè)備在輻射方向上某點(diǎn)接收到的單個(gè)電子產(chǎn)生的輻射持續(xù)時(shí)間.（本題結(jié)果均請(qǐng)以三位有效數(shù)字表示）

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）。

【解析】

（1）經(jīng)典的氫原子模型中，電子圍繞原子核做圓周運(yùn)動(dòng)，有下列關(guān)系式存在：，，.

電子的總能量為.

由此可推得電子的總能量為.

由條件推導(dǎo)出氫原子的軌道半徑和運(yùn)動(dòng)速度分別為，.

由拉莫爾公式得初始發(fā)射功率為.

在微小的時(shí)間間隔中，輻射使電子的總能量減少，，

其中為電子軌道半徑的減少量. 由此可導(dǎo)出時(shí)間和半徑的變化方程：，其中.

構(gòu)造一個(gè)半徑為的球體，則即為距離球心為的薄球殼的體積，在到0的求和過程中可以算出球的體積為. 對(duì)應(yīng)本題情況解出電子軌道從減少到0所需的時(shí)間為.

代入數(shù)據(jù)，得：.

（2）對(duì)于高能電子，可認(rèn)為電子運(yùn)動(dòng)的速度接近光速，即有如下各式：，，，，.

以上條件可以得出電子的偏轉(zhuǎn)半徑：.

儲(chǔ)存環(huán)中的電子數(shù)量：，其中為電子旋轉(zhuǎn)一圈所花費(fèi)的時(shí)間.

由上述式子及輻射條件可得每個(gè)電子每圈損失的總能量為（電子在直道上不輻射能量）：

.

由此得到存儲(chǔ)環(huán)中電子消耗的總功率為.

每個(gè)光口的功率為.

（3）在電子軌道上某點(diǎn)的切線方向上的某一點(diǎn)處觀察，觀察者只能在一個(gè)很短時(shí)間間隔內(nèi)看到電子發(fā)出的輻射，這段時(shí)間是電子的速度方向改變圓錐頂角（即）的角度所對(duì)應(yīng)的光到達(dá)接收位置的時(shí)間間隔.

如圖所示，在這段時(shí)間內(nèi)電子移動(dòng)的距離為.

令，則電子在這兩點(diǎn)發(fā)出的輻射時(shí)間間隔為.

但在軌道的切線方向上觀察，上述時(shí)間還要扣除點(diǎn)發(fā)射出的光到達(dá)點(diǎn)位置所花費(fèi)的時(shí)間，

則.又，

結(jié)合可得，代入式得到.

代入數(shù)據(jù)得：.

本題是第26屆全國(guó)中學(xué)學(xué)生物理競(jìng)賽決賽試題. 本題涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，信息量比較大，結(jié)合程度也很高.

問題（1）再現(xiàn)了人類認(rèn)識(shí)原子結(jié)構(gòu)在某個(gè)特定的歷史時(shí)期的局限，氫原子的壽命如此之短，讓大眾認(rèn)識(shí)到理論與模型上的缺陷，進(jìn)而也催生了玻爾的原子理論.問題（2）與問題（3）一方面考查了答題者對(duì)信息的處理與應(yīng)用的能力，另一方面也考查了答題者綜合運(yùn)用相對(duì)論知識(shí)的情況，設(shè)計(jì)相對(duì)論的時(shí)空效應(yīng)、相對(duì)論能量等知識(shí)內(nèi)容.另外，解答過程中關(guān)于的運(yùn)算也是應(yīng)引起大家注意的，閱讀時(shí)不要一晃而過，先試一試，便知這一運(yùn)算并不容易，更不要產(chǎn)生這是“湊”答案的思維，從而忽視了科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.