Question

15．如圖所示，宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面一斜坡上P點沿水平方向以初速度v₀拋出一個小球，測得小球經(jīng)時間t落到斜坡上另一點Q，斜面的傾角為α，已知該星球半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）該星球表面的重力加速度；
（2）該星球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）平拋運動水平方向上做勻速運動，在豎方向做自由落體運動，根據(jù)平拋運動的規(guī)律求星球表面的重力加速度．
（2）第一宇宙速度的大小等于近星面運行的速度．根據(jù)萬有引力提供的向心力求出第一宇宙速度的大�。�

解答 解：（1）小球落在斜面上，根據(jù)平拋運動的規(guī)律可得：
tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$，
所以，g=$\frac{2{v}_{0}tana}{t}$．
（2）因為萬有引力等于重力，所以G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
則該星球的質(zhì)量：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
根據(jù)萬有引力提供向心力得：G $\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
該星球的第一宙速度為：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{G\frac{g{R}^{2}}{G}}{R}}$=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtana}{t}}$．
答：（1）該星球表面的重力加速度g=$\frac{2{v}_{0}tana}{t}$．
（2）該星球的第一宇宙速度 v=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtana}{t}}$．

點評 解決本題的關鍵是掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個結(jié)論，并能靈活運用．