已知拋物線y2=2px(p>0)和四個點A、B、C、D,其中A在拋物線上,B(b,0),C(0,c)(c≠0),且直線AC交X軸于D點
(1)若p=2,b=-8,且D為AC中點,求證:AC⊥BC
(2)若p=2,b=1,且AC⊥BC,判斷A,C,D三點的位置關系,并說明理由.
(3)對(1)(2)兩個問題的探究過程中,涉及到以下三個條件:
①AC⊥BC; ②點A、C、D的位置關系; ③點B的坐標.
對拋物線y2=2px(p>0),請以其中的兩個條件做前提,一個做結(jié)論,寫出三個真命題,(不必證明).
【答案】
分析:(1)結(jié)合拋物線的方程可設

,由D為AC的中點可知

要證明AC⊥BC?

即可
(2)由題意可設

由AC⊥BC,可得

,代入可求

,從而可得C是AD的中點
(3)真命題共有8種情況:①②⇒③共3種情況;①③⇒②共2種情況;②③⇒①共3種情況
解答:解:(1)由題意可設

,…(1分)
?D為AC中點,∴

…(4分)
又∵

∴AC⊥BC…(6分)
(2)由題意可設

,…(7分)
∵AC⊥BC,∴

(10分)
即

,C是A,D的中點.…(12分)
(3)真命題共有8種情況:每個(2分)
①②⇒③共3種情況:
(i)若AC⊥BC,C為A,D的中點,則

(ii)若AC⊥BC,D為A,C中點,則B(-4p,0)
(iii)若AC⊥BC,A是C,D中點,則B(-4p,0)
①③⇒②共2種情況:
(i)若AC⊥BC,

,則C為A,D的中點
(ii)若AC⊥BC,B(-4p,0),則D為A,C中點或A是C,D中點
②③⇒①共3種情況:
(i)若C為A,D的中點,

,則AC⊥BC
(ii)若D為A,C中點,B(-4p,0),則AC⊥BC
(iii)若A是C,D中點,B(-4p,0),則AC⊥BC
點評:本題主要考查了拋物線的方程的應用,直線垂直與向量垂直的相互轉(zhuǎn)化的應用,利用拋物線方程y
2=2px(p>0)的特點設出拋物線上點的坐標

是一種常用的設法