Question

13．作家巴勒斯的科幻小說《火星公主》被改編成電影《異星戰(zhàn)場》．影片描寫了地球人卡特來到火星，為救火星公主征戰(zhàn)火星的故事．由于火星和地球?qū)ξ矬w的引力不同，使得卡特在火星上英勇無敵，成為火星戰(zhàn)神．科學知識告訴我們，對每個星球來講，下列公式成立：R²g=KM，這一關(guān)系式被稱為“黃金變換”．其中：R為星球的半徑，g為星球的引力常數(shù)（已知g_地=10N/kg），M為星球的質(zhì)量，K=6.67×10^-11N•m²/kg²．
（1）火星的半徑是地球的一半，密度是地球的九分之八．請問，卡特站立在火星上對火星表面的壓強與站立在地球上對地面的壓強之比是4：9（提示：球體體積公式：V_球=$\frac{4}{3}$πR³）；
（2）若不計空氣阻力，人們跳遠的最遠距離s與星球的g成反比，與起跳速度v₀的關(guān)系如圖象所示．下列四個關(guān)于s的表達式中只有一個是正確的，你選擇C；
A．s=gv₀²      B．s=$\frac{{V}_{0}}{g}$      C．s=$\frac{{{V}_{0}}^{2}}{g}$      D．s=gv₀
（3）不計空氣阻力，如果卡特在地球上最遠可以跳8.95m（世界跳遠紀錄），則他在火星上以相同的速度起跳，最遠可以跳20.1375m．

Answer 1

分析 （1）卡特站立在火星上和站立在地球上的受力面積相同，由p=$\frac{F}{S}$可得，卡特站立在火星上對火星表面的壓強與站立在地球上對地面的壓強之比等于壓力之比；壓力大小等于星球的引力．
（2）從圖形中可以看出，該圖象為正比例函數(shù)；根據(jù)題意和正比例函數(shù)即可得出三者之間的關(guān)系．
（3）由（1）的解題過程可得，$\frac{{g}_{火}}{{g}_{地}}$=$\frac{4}{9}$，再結(jié)合s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$即可求出在火星上跳得的最遠距離．

解答 解：（1）$\frac{{p}_{火}}{{p}_{地}}$=$\frac{{F}_{火}}{{F}_{地}}$=$\frac{{G}_{火}}{{G}_{地}}$=$\frac{{g}_{火}}{{g}_{地}}$=$\frac{{W}_{火}{R}_{地}^{2}}{{M}_{地}{R}_{火}^{2}}$=$\frac{{ρ}_{火}{v}_{火}{R}_{地}^{2}}{{ρ}_{地}{v}_{地}{R}_{火}^{2}}$=$\frac{{ρ}_{火}{R}_{火}}{{ρ}_{地}{R}_{地}}$=$\frac{8×1}{9×2}$=$\frac{4}{9}$；
（2）因為該圖象為正比例函數(shù)，即人們跳遠的最遠距離s與起跳速度v₀的平方成正比，又因為與星球的g成反比，因此三者的關(guān)系為：s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$，故C正確；
（3）因為$\frac{{g}_{火}}{{g}_{地}}$=$\frac{4}{9}$，s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$，
所以$\frac{{s}_{火}}{{s}_{地}}$=$\frac{{g}_{地}}{{g}_{火}}$=$\frac{9}{4}$，
故s_火=$\frac{9}{4}$×8.95m=20.1375m．
故答案為：（1）4：9；（2）C；（3）20.1375．

點評 此題涉及到球的體積，壓強公式的應用等多個知識點，難度較大，而且計算過程非常繁瑣，稍一疏忽，就有可能出錯，從而導致整個題錯誤，因此解答此題不僅要細心，而且要有耐心．