Question

18．如圖所示是一個水位高度控制裝置的示意圖，當(dāng)水位到達高H時，水恰好頂起塞子A從出水孔流出，水位下降后，塞子A又把出水孔堵住，塞子A底部是半徑為r的半球，半球恰好塞入出水孔中．已知球的體積公式是V=$\frac{{4π{r^3}}}{3}$，球表面面積公式是S_球=4πr²，圓面積公式是S_圓=πr²，水的密度為ρ，為滿足水位高度自動控制的要求，塞子的質(zhì)量應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 浸沒在液體中的固態(tài)受到的浮力等于固態(tài)各表面所受液體壓力的合力；我們可以先設(shè)想半球體下表面有液體，求出此時下表面受到的液體壓力和半球體受到的浮力，從而求出此時液體對半球體上表面的壓力．

解答 解：假設(shè)半球下表面處全部為液體，
則半球受到的浮力F_浮方向豎直向上，由阿基米德原理可知，
F_浮=ρgV_排=ρgV_半球=ρg×$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$πr³=$\frac{2}{3}$ρgπr³；
由p=$\frac{F}{S}$可知，半球下表面受到的液體壓力：
F_下=p_下S_圓=p_液S_圓=ρgH×πr²，方向豎直向上，
F_上表面=F_下表面+F_浮=πr²ρgH+$\frac{2}{3}$ρgπr³，
半球恰好塞入出水口中，所以塞子的重力G=F_上表面=πr²ρgH+$\frac{2}{3}$ρgπr³，
塞子的質(zhì)量應(yīng)為m=$\frac{G}{g}$=$\frac{π{r}^{2}ρgH+\frac{2}{3}ρgπ{r}^{3}}{g}$=πr²ρH+$\frac{2}{3}$ρπr³=ρπr²（H+$\frac{2}{3}$r）．
答：塞子的質(zhì)量應(yīng)為ρπr²（H+$\frac{2}{3}$r）．

點評 本題考查浮力的計算，液體壓強的計算，密度公式的應(yīng)用以及壓力的計算，關(guān)鍵是物體的受力分析．