閱讀材料：
如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)A、C、E在一條直線上，可以證明△ACD≌△BCE，則AD=BE．

解決問題：
（1）將圖1中的△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2，猜想此時(shí)線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）如圖2，連接BD，若AC=2cm，CE=1cm，現(xiàn)將△CDE繞點(diǎn)C繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，△BDE的面積是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個(gè)最大值；如果不存在，請說明理由．
（3）如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC上，且DE∥AB，將△DCE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到三角形CD′E′（使∠ACD′＜180°），連接BE′，AD′，設(shè)AD′分別交BC、BE′于O、F，若△ABC滿足∠ACB=60°，BC=

3

，AC=

2

，
①求

BE′

AD′

的值及∠BFA的度數(shù)；
②若D為AC的中點(diǎn)，求△AOC面積的最大值．

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿折線AC-CB-BA運(yùn)動，點(diǎn)P在AC，CB，BA邊上運(yùn)動的速度分別為每秒3，4，5 個(gè)單位．直線l從與AC重合的位置開始，以每秒

4

3

個(gè)單位的速度沿CB方向平行移動，即移動過程中保持l∥AC，且分別與CB，AB邊交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)P與直線l同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P第一次回到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l同時(shí)停止運(yùn)動
（1）①當(dāng)t=3秒時(shí)，點(diǎn)P走過的路徑長為；②當(dāng)t=秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；③當(dāng)t=秒時(shí)，PE∥AB；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動時(shí)，將△PEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)M落在EF上，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)N，當(dāng)EN⊥AB時(shí)，求t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在折線AC-CB-BA上運(yùn)動時(shí)，作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)，記為點(diǎn)Q．在點(diǎn)P與直線l運(yùn)動的過程中，若形成的四邊形PEQF為菱形，請直接寫出t的值．

小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，對一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：

（1）如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，求證：S_{四邊形ABCD}=S_△ABF（S表示面積）
（2）如圖2：在已知銳角∠AOB內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)P．過點(diǎn)P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點(diǎn)M、N．小明將直線MN繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)，△MON的面積存在最小值，請問當(dāng)直線MN在什么位置時(shí)，△MON的面積最小，并說明理由．
（3）利用（2）的結(jié)論解決下列問題：
我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質(zhì)，如關(guān)于線段比．（如圖3）若O是△ABC的重心，連結(jié)AO并延長交BC于D，則

AO

AD

=

2

3

，這樣面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)解決以下問題．
若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點(diǎn)重合）（如圖4），S_{四邊形BCHG}，S_△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究

S四邊形BCHG

S△AGH

的最大值．

兩個(gè)全等的直角三角板ABC和DEF重疊在一起，∠BAC=∠EDF=30°，AC=DF=2．△ABC固定不動，將△DEF沿AC平移（點(diǎn)D在線段AC上移動）．
（1）猜想與證明：如圖①，當(dāng)點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)時(shí)，請你猜想四邊形BDCE的性狀，并證明結(jié)論；
（2）思考與驗(yàn)證：如圖②，連接BD，BE，CE，四邊形BDCE的形狀在不斷的變化，它的面積變化嗎？若不變，求出其面積；若變化，請說明理由；
（3）操作與計(jì)算：如圖③，當(dāng)點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)時(shí)，將點(diǎn)D固定，然后再將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，若點(diǎn)P為線段AC延長線上一動點(diǎn)，求PE+PF的最小值．

好學(xué)的小宸利用電腦作了如下的探索：
（1）如圖①，將邊長為2的等邊三角形復(fù)制若干個(gè)后向右平移，使一條邊在同一直線上．則△A₂C₁B₁的面積為；
（2）求△A₄C₃B₃的面積；
（3）在保持圖①中各三角形的邊OB₁=B₁B₂=B₂B₃=B₃B₄=2不變的前提下，小宸又作了如下探究：將頂點(diǎn)A₁、A₂、A₃、A₄向上平移至同一高度（如圖②），若OA₄=OB₄，試判斷以O(shè)A₂、OA₃和OA₄為三邊能否構(gòu)成三角形？若能，請判斷這個(gè)三角形的形狀；若不能，請說明理由．

在等邊三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D．
（1）如圖1，請你直接寫出線段AD與BC之間的數(shù)量關(guān)系：AD=BC；
（2）如圖2，若P是線段BC上一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），聯(lián)結(jié)AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，聯(lián)結(jié)CE，猜想線段AD、CE、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，若點(diǎn)P是線段BC延長線上一個(gè)動點(diǎn)，（2）中的其他條件不變，按照（2）中的作法，請?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段AD、CE、PC之間的數(shù)量關(guān)系．

如圖1，在銳角△ABC中，AB=5，AC=4

2

，∠ACB=45°．
計(jì)算：求BC的長；
操作：
將圖1中的△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．如圖2，當(dāng)點(diǎn)C₁在線段CA的延長線上時(shí)．
（1）證明：A₁C₁⊥CC₁；
（2）求四邊形A₁BCC₁的面積；
探究：
將圖1中的△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．連結(jié)AA₁，CC₁，如圖3．若△ABA₁的面積為5，求點(diǎn)C到BC₁的距離；
拓展：
將圖1中的△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P₁，如圖4．
（1）若點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)，求線段EP₁長度的最大值與最小值；
（2）若點(diǎn)P是線段AC上的任一點(diǎn)，直接寫出線段EP₁長度的最大值與最小值．

如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么稱這個(gè)三角形為“勻稱三角形”
（1）已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=2

3

，AB=2

7

．求證：△ABC是“勻稱三角形”；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果三角形的一邊在x軸上，且這邊的中線恰好等于這邊的長，我們又稱這個(gè)三角形為“水平勻稱三角形”．如圖，現(xiàn)有10個(gè)邊長是1的小正方形組成的長方形區(qū)域記為G，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，A（3，0），B（4，0），若C、D（C、D兩點(diǎn)與O不重合）是x軸上的格點(diǎn)，且點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)．在G內(nèi)使△PAC與△PBD都是“水平勻稱三角形”的點(diǎn)P共有幾個(gè)？其中是否存在橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P，如果存在請求出這個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在請說明理由．

問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師提出了一個(gè)問題：如圖①，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D為直線AB上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，B重合）連接CD，以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將CD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接BE，試探索線段AB，BD，BE之間的數(shù)量關(guān)系．
小組展示：“希望”小組展示如下：解：線段AB，BD，BE之間的數(shù)量關(guān)系是AB=BE+BD．
證明：如圖①∵∠ACB=90°，∠DCE=90°
∴∠ACB=∠DCE
∴∠ACB=∠DCB=∠DCE-∠DCB
即∠ACD=∠BCE
∵CE是由CD旋轉(zhuǎn)得到．
∴CE=CD
則在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

∴△ACD≌△BCE（依據(jù)1）
∴AD=BE（依據(jù)2）
∵AB=AD+BD
∴AB=BE+BD
反思與交流：
（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：
依據(jù)1：
依據(jù)2：
（2）“騰飛”小組提出了與“希望”小組不同的意見，認(rèn)為還有兩種情況需要考慮，你根據(jù)他們的分類情況直接寫出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：
①如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長線上時(shí)，三條點(diǎn)段AB，BD，BE之間的數(shù)量關(guān)系是．
②如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在線段BA的延長線上時(shí)，三條線段AB，BD，BE之間的數(shù)量關(guān)系是．
（3）如圖④，當(dāng)點(diǎn)D在線段BA的延長線上時(shí)，若CD=4，線段DE的中點(diǎn)為F，連接FB，求FB的長度．

取一張矩形紙片ABCD，沿AD邊上任意一點(diǎn)M折疊后，點(diǎn)D、C分別落在D′、C′的位置，如圖所示．設(shè)折痕為MN，D′C′交BC于點(diǎn)E，且∠AM D′=α，∠NE C′=β．
（1）探究α、β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）折疊后是否存在△AD′M與△C′EN全等的情況？若存在，請給出證明；若不存在，請直接作出否定的回答，不必說明理由．
（3）設(shè)α=30°，當(dāng)△AD′M是等腰三角形時(shí)，試確定點(diǎn)M的位置．