已知拋物線過點A(1，0)，頂點為B，且拋物線不經過第三象限。
（1）使用a、c表示b；
（2）判斷點B所在象限，并說明理由；
（3）若直線經過點B，且于該拋物線交于另一點C(),求當x≥1時y₁的取值范圍。

我們知道，經過原點的拋物線解析式可以是。
（1）對于這樣的拋物線：
當頂點坐標為（1，1）時，a=       ；
當頂點坐標為（m，m），m≠0時，a 與m之間的關系式是       ；
（2）繼續(xù)探究，如果b≠0，且過原點的拋物線頂點在直線上，請用含k的代數式表示b；
（3）現(xiàn)有一組過原點的拋物線，頂點A₁，A₂，…，A_n在直線上，橫坐標依次為1，2，…，n（n為正整數，且n≤12），分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B₁，B₂，B₃，…，B_n，以線段A_nB_n為邊向右作正方形A_nB_nC_nD_n，若這組拋物線中有一條經過點D_n，求所有滿足條件的正方形邊長。

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與 軸交于A（，0），B（2，0），且與軸交于點C.


（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）點P是x軸下方的拋物線上一動點， 連接PO，PC，
并把△POC沿CO翻折，得到四邊形，求出使四邊形為菱形的點P的坐標；
(3) 在此拋物線上是否存在點Q，使得以A，C，B，Q四點為頂點的四邊形是直角梯形？若存在, 求出Q點的坐標；若不存在，說明理由.

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²+6x+c的圖象經過點A（4，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點C，點D在線段OC上，OD=t，點E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足為F．

（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求線段EF、OF的長（用含t的代數式表示）；
（3）當△ECA為直角三角形時，求t的值．

已知二次函數 (a、m為常數，且a¹0)。
（1）求證：不論a與m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點；
（2）設該函數的圖像的頂點為C，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D。
①當△ABC的面積等于1時，求a的值：
②當△ABC的面積與△ABD的面積相等時，求m的值。

如圖1，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上，若∠AEF=90⁰，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．

（1）圖1中若點E是邊BC的中點，我們可以構造兩個三角形全等來證明AE=EF，請敘述你的一個構造方案，并指出是哪兩個三角形全等（不要求證明）；
（2）如圖2，若點E在線段BC上滑動（不與點B，C重合）．
①AE=EF是否總成立？請給出證明；
②在如圖2的直角坐標系中，當點E滑動到某處時，點F恰好落在拋物線上，求此時點F的坐標．

如圖，拋物線與直線交于C，D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標為。點P是y軸右側的拋物線上一動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交CD于點F.

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P的橫坐標為m，當m為何值時，以O，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由；
（3）若存在點P，使∠PCF=45⁰，請直接寫出相應的點P的坐標。

如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點為O，A點坐標為（4，0），B點坐標為（﹣1，0），以AB的中點P為圓心，AB為直徑作⊙P的正半軸交于點C．

（1）求經過A、B、C三點的拋物線所對應的函數解析式；
（2）設M為（1）中拋物線的頂點，求直線MC對應的函數解析式；
（3）試說明直線MC與⊙P的位置關系，并證明你的結論．

已知拋物線的頂點A（2，0），與y軸的交點為B（0，－1）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在對稱軸右側的拋物線上找出一點C，使以BC為直徑的圓經過拋物線的頂點A．并求出點C的坐標以及此時圓的圓心P點的坐標．
（3）在（2）的基礎上，設直線x=t（0<t<10）與拋物線交于點N，當t為何值時，△BCN的面積最大，并求出最大值．

某高中學校為高一新生設計的學生單人桌的抽屜部分是長方體形．其中，抽屜底面周長為180cm，高為20cm．請通過計算說明，當底面的寬x為何值時，抽屜的體積y最大？最大為多少？（材質及其厚度等暫忽略不計）．