已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,CE與BD相交于點(diǎn)G,GH⊥BC于H. 求證:BH=CH。
證明:方法一:∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,
∴∠ABC+∠BCE=90º,∠ACB+∠CBD=90º
∴∠BCE=∠CBD
∴BG=CG
∵GH⊥BC于H
∴BH=CH.
方法二:∵CE⊥AB于E,BD⊥AC于D,
∴∠1=90º=∠2
在△AEC和△ADB中
∴△AEC≌△ADB (AAS)
∴∠3=∠4
∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABC-∠3=∠ACB-∠4
即∠5=∠6
∴BG=CG
∵GH⊥BC于H ∴BH=CH.
【解析】方法一:先根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠ABC=∠ACB,再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠BCE=∠CBD,從而BG=CG,再有GH⊥BC,根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得BH=CH.
方法二:先由AAS證得△AEC≌△ADB,得到∠3=∠4,再由AB=AC據(jù)等邊對(duì)等角得到∠ABC=∠ACB,從而∠5=∠6,所以BG=CG,再有GH⊥BC,根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得BH=CH.
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