已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問題:
(1)如圖1,當(dāng)點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時,a=b=3,且∠ACB=60°,則CD=______
【答案】
分析:(1)a=b=3,且∠ACB=60°,△ABC是等邊三角形,且CD是等邊三角形的高線的2倍,據(jù)此即可求解;
(2)a=b=6,且∠ACB=90°,△ABC是等腰直角三角形,且CD是邊長是6的等邊三角形的高長與等腰直角三角形的斜邊上的高的差;
(3)以點D為中心,將△DBC逆時針旋轉(zhuǎn)60°,則點B落在點A,點C落在點E.連接AE,CE,當(dāng)點E、A、C在一條直線上時,CD有最大值,CD=CE=a+b.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022155019658850952/SYS201310221550196588509024_DA/images0.png)
解:(1)∵a=b=3,且∠ACB=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴OC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022155019658850952/SYS201310221550196588509024_DA/0.png)
,
∴CD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022155019658850952/SYS201310221550196588509024_DA/1.png)
;(1分)
(2)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022155019658850952/SYS201310221550196588509024_DA/2.png)
;(2分)
(3)以點D為中心,將△DBC逆時針旋轉(zhuǎn)60°,
則點B落在點A,點C落在點E.連接AE,CE,
∴CD=ED,∠CDE=60°,AE=CB=a,
∴△CDE為等邊三角形,
∴CE=CD.(4分)
當(dāng)點E、A、C不在一條直線上時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022155019658850952/SYS201310221550196588509024_DA/images4.png)
有CD=CE<AE+AC=a+b;
當(dāng)點E、A、C在一條直線上時,
CD有最大值,CD=CE=a+b;
只有當(dāng)∠ACB=120°時,∠CAE=180°,
即A、C、E在一條直線上,此時AE最大
∴∠ACB=120°,(7分)
因此當(dāng)∠ACB=120°時,
CD有最大值是a+b.
點評:本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì),以及軸對稱的性質(zhì),正確理解CD有最大值的條件,是解題的關(guān)鍵.