Question

【題目】在△ABC中，以AB為斜邊，作直角△ABD，使點(diǎn)D落在△ABC內(nèi)，∠ADB=90°．

（1）如圖1，若AB=AC，∠DBA=60°，AD=7 ，點(diǎn)P、M分別為BC、AB邊的中點(diǎn)，連接PM，求線段PM的長；
（2）如圖2，若AB=AC，把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到△ACE，連接ED并延長交BC于點(diǎn)P，求證：BP=CP；
（3）如圖3，若AD=BD，過點(diǎn)D的直線交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，EF⊥AC，且AE=EC，請(qǐng)直接寫出線段BF、FC、AD之間的關(guān)系（不需要證明）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，

∵∠ADB=90°，∠DBA=60°，AD=7 ，

∴∠BAD=30°，

∴AB=2BD，設(shè)BD=a，則AB=2a，

∵AB2=BD2+AD2，

∴（2a）2=a2+（7 ）2，

∴a=7，

∴AB=AC=14，

∵AM=MB，PB=PC，

∴PM= AC=7

（2）

證明：如圖2中，在ED上截取EQ=DP，連接CQ．

∵AD=AE，

∴∠1=∠2，

∵∠ADB=∠AEC=90°，

∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∵BD=EC，

∴△EQC≌△DPB，

∴CQ=BP，∠QCE=∠DBP，

∵∠CQP=∠3+∠QCE，∠CPQ=∠4+∠DBP，

∴∠CQP=∠CPQ，

∴CQ=PC，

∴PB=PC．

（3）

解：結(jié)論：2AD2=FB2+CF2．

理由：如圖3中，連接AF交BD于N，連接CD延長至H．

∵EA=EC，EF⊥AC，

∴DA=DC，

∵∠ADB=90°，DA=DB，

∴DA=DC=DB，∴∠DBA=∠DAB=45°，AB= AD，

∴∠DAC=∠DCA，∠DBC=∠DCB，

∵∠ADH=∠DAC+∠ACD，∠BDH﹣∠DBC+∠DCB，

∴∠ADB=2∠ACD+2∠DCB=90°，

∴∠ACF=45°，

∵FA=FC，

∴∠FAC=∠FCA=45°，

∴∠AFC=90°

∵∠AND=∠BNF，∠ADN=∠BFN=90°，

∴△AND∽△BNF，

∴ ，

∴ ，∵∠ANB=∠DNF，

∴△ANB∽△DNF，

∴∠DFN=∠ABD=45°，

∵FE⊥AC，AE=EC，

∴FA=FC，∠AFE=∠CFE=45°，

∴∠AFC=∠AFB=90°，

∴AB2=BF2+AF2，

∴2AD2=BF2+CF2

【解析】（1）根據(jù)直角三角形30度角性質(zhì)求出AB，再根據(jù)三角形中位線定理即可求出PM．（2）如圖2中，在ED上截取EQ=DP，連接CQ．首先證明△EQC≌△DPB，推出QC=PB，再證明QC=PC即可解決問題．（3）結(jié)論：2AD2=FB2+CF2 ． 如圖3中，連接AF交BD于N．由△AND∽△BNF，推出 ，推出 ，又∠ANB=∠DNF，推出△ANB∽△DNF，從∠DFN=∠ABD=45°，在RtABF中利用勾股定理即可證明．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和三角形中位線定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．