Question

如圖，設(shè)拋物線C₁：y＝a(x＋1)²－5，C₂：y＝－a(x－1)²＋5，C₁與C₂的交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，4)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是－2．

(1)求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)D在線段AB上，過(guò)D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)H，在DH的右側(cè)作正三角形DHG．記過(guò)C₂頂點(diǎn)Ｍ的直線為l，且l與x軸交于點(diǎn)N．

①若l過(guò)△DHG的頂點(diǎn)G，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，2)，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；

②若l與△DHG的邊DG相交，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵點(diǎn)A在拋物線C1上，∴把點(diǎn)A坐標(biāo)代入得＝1． 　　∴拋物線C1的解析式為， 　　設(shè)B(－2，b)，∴b＝－4，∴B(－2，－4)． 　　(2)①如圖， 　　∵M(1，5)，D(1，2)，且DH⊥x軸，∴點(diǎn)M在DH上，MH＝5． 　　過(guò)點(diǎn)G作GE⊥DH，垂足為E， 　　由△DHG是正三角形，可得EG＝，EH＝1， 　　∴ME＝4． 　　設(shè)N(x，0)，則NH＝x－1， 　　由△MEG∽△MHN，得， 　　∴，∴， 　　∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為． 　�、诋�(dāng)點(diǎn)Ｄ移到與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖， 　　直線與DG交于點(diǎn)G，此時(shí)點(diǎn)Ｎ的橫坐標(biāo)最大． 　　過(guò)點(diǎn)Ｇ，Ｍ作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)Ｑ，F， 　　設(shè)Ｎ(x，0)， 　　∵A(2，4)，∴G(，2)， 　　∴NQ＝，ＮF＝，GQ＝2，MF＝5． 　　∵△NGQ∽△NMF， 　　∴， 　　∴， 　　∴． 　　當(dāng)點(diǎn)D移到與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖， 　　直線與DG交于點(diǎn)D，即點(diǎn)B， 　　此時(shí)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)最小． 　　∵B(－2，－4)，∴H(－2，0)，D(－2，－4)， 　　設(shè)N(x，0)， 　　∵△BHN∽△MFN，∴， 　　∴，∴． 　　∴點(diǎn)N橫坐標(biāo)的范圍為≤x≤．