Question

【題目】如圖，已知∠AOB=60°，點(diǎn)P為射線OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥OB，交OB 于點(diǎn)E，點(diǎn)D在∠AOB內(nèi)，且滿足∠DPA=∠OPE，DP+PE=6.

（1）當(dāng)DP=PE時(shí)，求DE的長(zhǎng)；

（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使得的值不變？并證明你的判斷.

Answer 1

【答案】（1）DE=3；（2）當(dāng)M點(diǎn)在射線OA上且滿足OM=2時(shí)，的值不變，始終為1.理由見解析.

【解析】

（1）作PF⊥DE交DE于F．由直角三角形的兩銳角互余得到∠OPE=30°，在由平角的定義，得出∠EPD=120°．然后解三角形DPE即可得出結(jié)論．

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M不重合時(shí)，延長(zhǎng)EP到K使得PK=PD．可以證明△KPM≌△DPM，得到MK=MD．作ML⊥OE于L，MN⊥EK于N．解Rt△MLO得到ML的長(zhǎng)，易證四邊形MNEL為矩形，得到EN=ML=3．通過證明MK=ME，得到ME=MK=MD，即可得到=1．

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，結(jié)論也成立．

（1）作PF⊥DE交DE于F．

∵PE⊥BO，∠AOB=60°，∴∠OPE=30°，∴∠DPA=∠OPE=30°，∴∠EPD=120°．

∵DP=PE，DP+PE=6，∴∠PDE=30°，PD=PE=3，∴DF=PDcos30°=，∴DE=2DF=．

（2）當(dāng)M點(diǎn)在射線OA上且滿足OM=時(shí)，的值不變，始終為1．理由如下：

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M不重合時(shí)，延長(zhǎng)EP到K使得PK=PD，連接MK．

∵∠DPA=∠OPE，∠OPE=∠KPA，∴∠KPA=∠DPA，∴∠KPM=∠DPM．

∵PK=PD，PM是公共邊，∴△KPM≌△DPM，∴MK=MD．

作ML⊥OE于L，MN⊥EK于N．

∵MO=，∠MOL=60°，∴ML=MOsin60°=3．

∵PE⊥BO，ML⊥OE，MN⊥EK，∴四邊形MNEL為矩形，∴EN=ML=3．

∵EK=PE+PK=PE+PD=6，∴EN=NK．

∵MN⊥EK，∴MK=ME，∴ME=MK=MD，即=1．

②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，由上述過程可知結(jié)論成立．