Question

（1）如圖①，?ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，直線EF過點(diǎn)O，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．
求證：AE=CF．
（2）如圖②，將?ABCD（紙片）沿過對角線交點(diǎn)O的直線EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A₁處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B₁處，設(shè)FB₁交CD于點(diǎn)G，A₁B₁分別交CD，DE于點(diǎn)H，I．
求證：EI=FG．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行線的性質(zhì)，可得∠1=∠2，繼而利用ASA，即可證得△AOE≌△COF，則可證得AE=CF．
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與折疊性質(zhì)，易得A₁E=CF，∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，繼而可證得△A₁IE≌△CGF，即可證得EI=FG．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
由（1）得AE=CF，
由折疊的性質(zhì)可得：AE=A₁E，∠A₁=∠A，∠B₁=∠B，
∴A₁E=CF，∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠5=∠3，∠4=∠6，
∴∠5=∠6，
∵在△A₁IE與△CGF中，
，
∴△A₁IE≌△CGF（AAS），
∴EI=FG．
點(diǎn)評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．