Question

如圖，在⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有點C和點P．已知BC：CA=4：3，點P和點C關(guān)于AB所在直線對稱，過點C作CP的垂線與PB的延長線交于點Q，且CQ=．求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意得CP⊥AB，設(shè)垂足為D，由圓周角定理得∠ACB=90°，設(shè)BC=4x，那么AC=3x，再根據(jù)直角三角形的面積公式可得出CD，PC，再由Rt△ACB∽Rt△PCQ可得出x，由勾股定理求出答案即可．
解答：解：∵點P與點C關(guān)于AB對稱時，CP⊥AB，設(shè)垂足為D，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
BC：CA=4：3，
設(shè)BC=4x，那么AC=3x，由勾股定理得：AB=5x
∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=x，
∴PC=x，
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴Rt△ACB∽Rt△PCQ．
∴=，=，
解得x=2，
∴直徑AB=10，
∴⊙O的半徑長為5．
點評：本題是一道有關(guān)圓的知識的題目，考查了圓周角定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．