Question

在ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點(diǎn)，連結(jié)EG、GF、FH、HE.

（1）如圖①，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；

（2）如圖②，當(dāng)EF⊥GH時(shí)，四邊形EGFH的形狀是           ；

（3）如圖③，在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是          ；

（4）如圖④，在（3）的條件下，若AC⊥BD，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由.

 

Answer 1

解：（1）四邊形EGFH是平行四邊形．                              ---------------1分

證明：∵ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．

∴點(diǎn)O是   ABCD的對(duì)稱中心．

∴EO=FO，GO=HO．

∴四邊形EGFH是平行四邊形．                                    ---------------3分

（2）菱形．                                                      ---------------2分

（3）菱形．                                                      ---------------2分

（4）四邊形EGFH是正方形．                                      ---------------1分

證明：∵AC=BD，∴   ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴   ABCD是菱形．

∴   ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．

∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．

∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF． 

由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，又∵EF⊥GH，EF=GH.

∴四邊形EGFH是正方形．                                        ---------------3分