Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+4與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）如圖1，D為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，求D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)△DAC的周長(zhǎng)最��；

（3）如圖2，點(diǎn)E在第一象限拋物線(xiàn)上，AE與BC交于點(diǎn)F，若AF：FE＝2：1，求E點(diǎn)坐標(biāo)；

（4）點(diǎn)M、N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA、BC方向運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是1個(gè)單位/秒，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)N停止運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)N停止運(yùn)動(dòng)后，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBN是等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣，0）或P4（，0）．

【解析】

（1）直接待定系數(shù)法代入求解即可 （2）找到D點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸時(shí)是△DAC周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，先求出直線(xiàn)BC，然后D點(diǎn)橫坐標(biāo)是1，直接代入直線(xiàn)BC求出縱坐標(biāo)即可 （3）作EH∥AB交BC于H，則∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，易證△ABF∽△EHF，得,得EH=2，設(shè)E（x，），則H（x﹣2，），yE＝yH，解出方程x＝1或x＝2，得到E點(diǎn)坐標(biāo) （4）△PBN是等腰三角形，分成三種情況，①BP＝BC時(shí)，利用等腰三角性質(zhì)直接得到P1（﹣1，0）或P2（7，0），②當(dāng)NB＝NP時(shí)，作NH⊥x軸，易得△NHB∽△COB，利用比例式得到NH、 BH從而得到 PH＝BH，BP，進(jìn)而得到OP，即得到P點(diǎn)坐標(biāo)，③當(dāng)PN＝PB時(shí)，取NB中點(diǎn)K，作KP⊥BN，交x軸于點(diǎn)P，易得△NOB∽△PKB，利用比例式求出PB，進(jìn)而得到OP，即求出P點(diǎn)坐標(biāo)

解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+4，

得

解得a＝，b＝，

∴拋物線(xiàn)的解析式；

（2）

∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，

∴D的橫坐標(biāo)為1，

由（1）可得C（0，4），

∵B（3，0），

∴直線(xiàn)BC：

∵DA＝DB，

△DAC的周長(zhǎng)＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD，

連接BC，與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D，

此時(shí)CD+BD最小，

∵AC為定值，

∴此時(shí)△DAC的周長(zhǎng)，

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣×1+4＝，

∴D（1，）；

（3）作EH∥AB交BC于H，則∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，

∴△ABF∽△EHF，

∵AF：FE＝2：1，

∴，

∵AB＝4，

∴EH＝2，

設(shè)E（x，），則H（x﹣2，）

∵EH∥AB，

∴yE＝yH，

∴=

解得x＝1或x＝2，

y＝或4，

∴E（1，）或（2，4）；

（4）∵A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，4）

∴AB＝4，OC＝4，

點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，BM＝AB＝4，

∴BN＝4，

∵△PBN是等腰三角形，

①BP＝BC時(shí)，

若P在點(diǎn)B左側(cè)，OP＝PB﹣OB＝4﹣3＝1，

∴P1（﹣1，0），

若P在點(diǎn)B右側(cè)，OP＝OB+BP＝4+3＝7，

∴P2（7，0）；

②當(dāng)NB＝NP時(shí)，作NH⊥x軸，

△NHB∽△COB，

∴

∴NH＝OC＝＝，

BH＝BC＝，

∴PH＝BH＝，

BP＝，

∴OP＝BP﹣OB＝，

∴P3（﹣，0）；

③當(dāng)PN＝PB時(shí)，

取NB中點(diǎn)K，作KP⊥BN，交x軸于點(diǎn)P，

∴△NOB∽△PKB，

∴

∴PB＝，

∴OP＝OB﹣PB＝3﹣＝

P4（，0）

綜上，當(dāng)△PBN是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣，0）或P4（，0）．