Question

將直角邊長(zhǎng)為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C及點(diǎn)B(–3，0)．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作AB的平行線交AC于點(diǎn)E，連接AP，當(dāng)△APE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)G，使△AGC的面積與(2)中△APE的最大面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如圖，∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a　≠　0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0，6)， 　　∴c＝6．　　1分 　　∵拋物線的圖象又經(jīng)過點(diǎn)(–3，0)和(6，0)， 　　∴　　2分 　　解之，得　　3分 　　故此拋物線的解析式為：y＝－x2＋x＋6　　4分 　　(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)， 　　則PC＝6－m，S△ABC＝BC·AO＝×9×6＝27．5分 　　∵PE∥AB， 　　∴△CEP∽△CAB　　6分 　　∴＝()2，即＝()2 　　∴S△CEP＝(6－m)2．7分 　　∵S△APC＝PC·AO＝(6－m)×6＝3(6－m) 　　∴S△APE＝S△APC－S△CEP＝3(6－m)－(6－m)2＝－(m－)2＋． 　　當(dāng)m＝時(shí)，S△APE有最大面積為；此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，0)．8分 　　(3)如圖，過G作GH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G(a，b)，9分 　　連接AG、GC， 　　∵S梯形AOHG＝a(b＋6)， 　　S△CHG＝(6－a)b 　　∴S四邊形AOCG＝a(b＋6)＋(6－a)b＝3(a＋b)．10分 　　∵S△AGC＝S四邊形AOCG－S△AOC 　　∴＝3(a＋b)－18．11分 　　∵點(diǎn)G(a，b)在拋物線y＝－x2＋x＋6的圖象上， 　　∴b＝－a2＋a＋6． 　　∴＝3(a－a2＋a＋6)－18 　　化簡(jiǎn)，得4a2－24a＋27＝0 　　解之，得a1＝，a2＝ 　　故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，)或(，)．12分