Question

已知與是反比例函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）若點(diǎn)，則在反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使得以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）由，得，因此．

（2）如圖1，作軸，為垂足，則，，，因此．

由于點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，因此軸，從而．

當(dāng)為底時(shí)，由于過點(diǎn)且平行于的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

故不符題意．

當(dāng)為底時(shí)，過點(diǎn)作的平行線，交雙曲線于點(diǎn)，

過點(diǎn)分別作軸，軸的平行線，交于點(diǎn)．

由于，設(shè)，則，，

由點(diǎn)，得點(diǎn)．

因此

解之得（舍去），因此點(diǎn)．

此時(shí)，與的長度不等，故四邊形是梯形．

如圖2，當(dāng)為底時(shí)，過點(diǎn)作的平行線，與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為．

由于，因此，從而．作軸，為垂足，

則，設(shè)，則，

由點(diǎn)，得點(diǎn)，

因此

解之得（舍去），因此點(diǎn)．

此時(shí)，與的長度不相等，故四邊形是梯形．

如圖3，當(dāng)過點(diǎn)作的平行線，與雙曲線在第三象限內(nèi)的交點(diǎn)為時(shí)，

同理可得，點(diǎn)，四邊形是梯形．

綜上所述，函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，使得以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．