Question

已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C出發(fā)，沿AC、CB以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C、B后停止。連結(jié)PQ、點(diǎn)D是PQ中點(diǎn)，連結(jié)CD并延長交AB于點(diǎn)E.

（1）       試說明：△POQ是等腰直角三角形；

（2）       設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，試用含t的代數(shù)式來表示△CPQ的面積S，并求出

S的最大值；

（3）       如圖2，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，連結(jié)EP、EQ，問四邊形PEQC是什么四邊形，并說明理由；

（4）       求點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長（直接寫出結(jié)果）.

 

               

Answer 1

 (1)、證明：連接CO，則：CO⊥AB  ∠BCO=∠A=45° CO=AO=1/2AB
                  在△AOP和△COQ中

                  AP=CQ ，∠A=∠BCO，AO=CO           

  ∴△AOP≌△COQ   (SAS)

  ∴OP=OQ    ∴∠AOP=∠COQ　

∴∠POQ=∠COQ+∠COP =∠AOP+∠COP=∠AOC =90°　     

∴△ POQ是等腰直角三角形（3分）

(2)、S=CQ×CP =t(4-t) =t²+2t = (t-2)²+2

當(dāng)t=2時(shí)，S取得最大值，最大值S=2 （3分）

(3)、四邊形PEQC是矩形
證明：連接OD

    ∵點(diǎn)D是PQ中點(diǎn)

∴CD=PD=DQ=PQ

  OD=PD=DQ=PQ

∴CD=OD

∴∠DCO=∠DOC

∵∠CEO+∠DCO=90°

  ∠DOE+∠DOC=90°

∴∠CEO=∠DOE

∴DE=DO

∴DE=CD

∵PD=DQ

∴四邊形PEQC是平行四邊形

  又∠ACB=90°  ∴四邊形PEQC是矩形（3分）

(4)、由DO=DC可知：點(diǎn)D在線段OC的垂直平分線上，其運(yùn)動(dòng)路徑為CO垂直平分線與AC、BC交點(diǎn)間線段

    點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長=AB=（3分）