Question

如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，設CD=x．
（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；并求AC+CE的最小值；
（2）若x+y=12，x＞0，y＞0請仿照（1）中的規(guī)律，運用構圖法求出代數(shù)式的最小值．

Answer 1

解：（1）∵CD=x，BD=8，
∴CB=8-x，
AC+CE=+，
當A、C、E在同一直線上，AC+CE最小；
當A、C、E在同一直線上時，
延長AB，作EF⊥AB于點F，
∵AB=5，DE=1，
∴AF=6，
∵∠ABD=90°，
∴∠FBD=90°，
∵∠BDE=∠BFE=90°，
∴四邊形BFED是矩形，
∴BD=EF=8，
∴AE===10，；

（2）如下圖所示：

作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，
當BC=x，
∵x+y=12，
∴y=12-x，
AE的長即為代數(shù)式的最小值，
過點A作AF∥BD交ED的延長線于點F，得矩形ABDF，
則AB=DF=2，AF=BD=12，
所以AE===13，
即代數(shù)式的最小值為13．
分析：（1）根據(jù)勾股定理得出AC，CE的長進而得出用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若點C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小，利用勾股定理求出即可；
（2）由（1）的結果可作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，則AE的長即為代數(shù)式的最小值，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質可求得AE的值．
點評：本題主要考查了最短路線問題以及勾股定理應用，利用了數(shù)形結合的思想，通過構造直角三角形，利用勾股定理求解是解題關鍵．