Question

【題目】定義：有一個(gè)內(nèi)角為90°，且對(duì)角線相等的四邊形稱為準(zhǔn)矩形．

（1）①如圖1，準(zhǔn)矩形ABCD中，∠ABC=90°，若AB=2，BC=3，則BD=　 　；

②如圖2，直角坐標(biāo)系中，A（0，3），B（5，0），若整點(diǎn)P使得四邊形AOBP是準(zhǔn)矩形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是　 　；（整點(diǎn)指橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）

（2）如圖3，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB上的點(diǎn)，且CF⊥BE，求證：四邊形BCEF是準(zhǔn)矩形；

（3）已知，準(zhǔn)矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，當(dāng)△ADC為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出這個(gè)準(zhǔn)矩形的面積是　 　．

Answer 1

【答案】（1）（2）（5，3），（3，5）（3）；；

【解析】試題分析：（1）利用準(zhǔn)矩形的定義和勾股定理計(jì)算，再根據(jù)準(zhǔn)矩形的特點(diǎn)和整點(diǎn)的特點(diǎn)求出即可；

（2）先利用正方形的性質(zhì)判斷出△ABE≌△BCF，即可；

（2）分三種情況分別計(jì)算，用到梯形面積公式，對(duì)角線面積公式，對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積計(jì)算方法．

試題解析：（1）①∵∠ABC=90，

∴BD=，

故答案為，

②∵A（0，3），B（5，0），

∴AB==6，

設(shè)點(diǎn)P（m，n），A（0，0），

∴OP==6，

∵m，n都為整數(shù)，

∴點(diǎn)P（3，5）或（5，3）；

故答案為P（3，5）或（5，3）；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC∠A=∠ABC=90°，

∴∠EAF+∠EBC=90°，

∵BE⊥CF，

∴∠EBC+∠BCF=90°，

∴∠EBF=∠BCF，

∴△ABE≌△BCF，

∴BE=CF，

∴四邊形BCEF是準(zhǔn)矩形；

（3）；；

∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，

∴BC=2，AC=4，

準(zhǔn)矩形ABCD中，BD=AC=4，

①當(dāng)AC=AD時(shí)，如圖1，作DE⊥AB，

∴AE=BEAB=1，

∴DE=，

∴S準(zhǔn)矩形ABCD=S△ADE+S梯形BCDE

=DE×AE+（BC+DE）×BE

=×+（2+）×1

=+；

②當(dāng)AC=CD時(shí)，如圖2，

作DF⊥BC，

∴BD=CD，

∴BF=CF=BC=，

∴DF=，

∴S準(zhǔn)矩形ABCD=S△DCF+S梯形ABFD

=FC×DF+（AB+DF）×BF

=××+（2+）×

=+；

③當(dāng)AD=CD，如圖3，

連接AC中點(diǎn)和D并延長(zhǎng)，連接BG，過(guò)B作BH⊥DG，

∴BD=CD=AC=4，

∴AG=AC=2，

∵AB=2，

∴AB=AG，

∵∠BAC=60°，

∴∠ABG=60°，

∴∠CBG=30°

在Rt△BHG中，BG=2，∠BGH=30°，

∴BH=1，

在Rt△BHM中，BH=1，∠CBH=30°，

∴BM=，HM=，

∴CM=，

在Rt△DHB中，BH=1，BD=4，

∴DH=，∴DM=DH﹣MH=﹣，

∴S準(zhǔn)矩形ABCD=S△DCF+S四邊形AMCD

=BM×AB+AC×DM

=××2+×4×（﹣）

=2；

故答案為；；．