Question

已知拋物線y=

1

2

x²+bx+c與x軸交于A（x₁，0），D（x₂，0）（x₁＞x₂）兩點(diǎn)，并且AD=1，又經(jīng)過點(diǎn)B（4，1），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線y=

1

2

x²+bx+c的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求點(diǎn)A及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）如圖1，連接AB，在題1中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）如圖2，連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）令y=0，利用兩點(diǎn)之間的距離表示出AD的長(zhǎng)度，得到關(guān)于b、c的一個(gè)方程，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式得到一個(gè)關(guān)于b、c的方程，然后聯(lián)立求解得到b、c的值，再根據(jù)拋物線對(duì)稱軸在點(diǎn)B的左邊求出b的范圍，舍去一個(gè)，然后即可得解；
（2）根據(jù)拋物線解析式，令y=0，解關(guān)于x的方程即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，令x=0，解關(guān)于y的方程即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)可以求出∠BAC=90°，從而得到△ABC就是直角三角形，所以點(diǎn)C即為所求的一個(gè)點(diǎn)P的，再根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出過點(diǎn)B的直線PB，與拋物線聯(lián)立求解即可得到另一個(gè)點(diǎn)P；
（4）根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)可得∠OAE=∠OAF=45°，再根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠OEF=∠OFE=45°，∠EOF=90°然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得OE=OF，然后利用直線AC的解析式設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用勾股定理表示出OE的平方，然后利用三角形的面積公式列式整理即可得到面積的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的最值問題解答即可．

解答：解：（1）令y=0，則

1

2

x²+bx+c=0，即x²+2bx+2c=0，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，x₁+x₂=-2b，x₁•x₂=2c，
AD=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4b2-8c

=1，
整理得，4b²-8c-1=0①，
又∵點(diǎn)B（4，1）在拋物線上，
∴8+4b+c=1，
整理得，c=-4b-7②，
把②代入①得，4b²+32b+55=0，
解得b₁=-

5

2

，b₂=-

11

2

，
由圖可知，拋物線x=-

b

2× 1 2

＜4，
所以，b＞-4，
∴b=-

5

2

，
把b=-

5

2

代入②得，c=-4×（-

5

2

）-7=10-7=3，
所以，拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

5

2

x+3；

（2）令x=0，則

1

2

x²-

5

2

x+3=0，
整理得，x²-5x+6=0，
解得x₁=3，x₂=2，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)D的右邊，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），
令x=0，則y=3，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）；

（3）假設(shè)存在，分兩種情況：如圖1，①過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
∴∠OCA=45°，∠BAH=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴△ABC是直角三角形，
點(diǎn)C（0，3）符合條件，
所以，P₁（0，3）；
②當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，過點(diǎn)B作BP∥AC交拋物線于點(diǎn)P，
∵A（3，0），C（0，3），
∴直線AC的解析式為y=-x+3，
設(shè)直線BP的解析式為y=-x+b，
則-4+b=1，
解得b=5，
∴直線BP：y=-x+5，
聯(lián)立

y=-x+5 y= 1 2 x2- 5 2 x+3

，
解得

x1=-1 y1=6

，

x2=4 y2=1

，
又∵點(diǎn)B（4，1），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，6），
綜上所述，存在點(diǎn)P₁（0，3），P₂（-1，6）；

（4）如圖2，∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
∴∠OAE=45°，∠OAF=∠BAH=45°，
又∵∠OFE=∠OAE，∠OEF=∠OAF，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴OE=OF，∠EOF=180°-45°×2=90°，
∵點(diǎn)E在直線AC上：y=-x+3，
∴設(shè)點(diǎn)E（x，-x+3），
根據(jù)勾股定理，OE²=x²+（-x+3）²，
=2x²-6x+9，
所以，S_△OEF=

1

2

OE•OF=

1

2

OE²=x²-3x+

9

2

=（x-

3

2

）²+

9

4

，
所以，當(dāng)x=

3

2

時(shí)，S_△OEF取最小值，
此時(shí)-x+3=-

3

2

+3=

3

2

，
所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)（

3

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了拋物線與x軸的交點(diǎn)間的距離的表示，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，直角三角形的判定，在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)，（3）（4）兩題，根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求出45°角，從而得到直角或相等的角是解題的關(guān)鍵，題目構(gòu)思靈活，數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)巧妙．