Question

（2005•河南）如圖，Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的長(zhǎng)和寬分別為8cm和2cm，C點(diǎn)和M點(diǎn)重合，BC和MN在一條直線上．令Rt△PMN不動(dòng)，矩形ABCD沿MN所在直線向右以每秒1cm的速度移動(dòng)（如圖2），直到C點(diǎn)與N點(diǎn)重合為止．設(shè)移動(dòng)x秒后，矩形ABCD與△PMN重疊部分的面積為ycm²．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：在Rt△PMN中解題，要充分運(yùn)用好垂直關(guān)系，作垂直輔助線，延長(zhǎng)AD構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方形，更有利解題，因?yàn)榇祟}也是點(diǎn)的移動(dòng)問(wèn)題，可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由開始向右移動(dòng)到停止，和Rt△PMN重疊部分的形狀可分為下列三種情況，（1）C點(diǎn)由M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)的過(guò)程中（0≤x≤2）；（2）當(dāng)C點(diǎn)由F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到T點(diǎn)的過(guò)程中（2＜x≤6）；（3）當(dāng)C點(diǎn)由T點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中（6＜x≤8）；把思路理清晰，解題就容易了．
解答：解：在Rt△PMN中，
∵PM=PN，∠P=90°
∴∠PMN=∠PNM=45°，
延長(zhǎng)AD分別交PM，PN于點(diǎn)G、H．
過(guò)G作GF⊥MN于F，過(guò)H作HT⊥MN于T．
∵DC=2cm，
∴MF=GF=2cm，TN=HT=2cm．
∵M(jìn)N=8cm，
∴MT=6cm．
因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由開始向右移動(dòng)到停止，和Rt△PMN重疊部分的形狀可分為下列三種情況：
（1）當(dāng)C點(diǎn)由M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)的過(guò)程中（0≤x≤2），如圖①所示，
設(shè)CD與PM交于點(diǎn)E，則重疊部分圖形是Rt△MCE，且MC=EC=x．
∴y=MC•EC=x²（0≤x≤2）．

（2）當(dāng)C點(diǎn)由F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到T點(diǎn)的過(guò)程中（2＜x≤6），如圖②所示，重疊部分圖形是直角梯形MCDG．
∵M(jìn)C=x，MF=2，
∴FC=DG=x-2，且DC=2，
∴y=（MC+GD）•DC=2x-2（2＜x≤6）．
（3）當(dāng)C點(diǎn)由T點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中（6＜x≤8），如圖③所示，

設(shè)CD與PN交于點(diǎn)Q，則重疊部分圖形是五邊形MCQHG．
∵M(jìn)C=x，
∴CN=CQ=8-x，且DC=2，
∴y=（MN+GH）•DC-CN×CQ
=-（8-x）²+12（6＜x≤8）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查直角三角形的性質(zhì)和垂直關(guān)系的應(yīng)用，直角三角形內(nèi)部輔助線的作法，以及分類討論思想的應(yīng)用．