Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AC下方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求點D的坐標；

（3）設(shè)點M是拋物線的頂點，試判斷拋物線上是否存在點H滿足∠AMH=90°？若存在，請求出點H的坐標；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；

（2）根據(jù)圖形的割補法，可得面積的和差，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；

（3）根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠AMN=∠NKM，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得=，根據(jù)解方程組，可得H點坐標．

【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）代入解析式，得

，

解得．

∴拋物線的解析式是y=2x²+5x+2；

（2）由題意可求得AC的解析式為y=x+2，

如圖1，

設(shè)D點的坐標為（t，2t²+5t+2），過D作DE⊥x軸交AC于E點，

∴E點的坐標為（t，t+2），

DE=t+2﹣（2t²+5t+2）=﹣2t²﹣4t，用h表示點C到線段DE所在直線的距離，

S_△DAC=S_△CDE+S_△ADE=DE•h+DE（2﹣h）=DE•2=DE=﹣2t²﹣4t=﹣2（t+1）²+2

∵﹣2＜t＜0，

∴當(dāng)t=﹣1時，△DCA的面積最大，此時D點的坐標為（﹣1，﹣1）；

（3）存在點H滿足∠AMH=90°，

由（1）知M點的坐標為（﹣，﹣）

如圖2：作MH⊥AM交x軸于點K（x，0），作MN⊥x軸于點N，

∵∠AMN+∠KMA=90°，∠NKM+∠KMN=90°，

∴∠AMN=∠NKM．

∵∠ANM=∠MNK，

∴△AMN∽△MKN，

∴=，

∴MN²=AN•NK，

∴（）²=（2﹣）（x+），

解得x=

∴K點坐標為（，0）

直線MK的解析式為y=x﹣，

∴，

把①代入②，化簡得48x²+104x+55=0．

△=104²﹣4×48×55=64×4=256＞0，

∴x₁=﹣，x₂=﹣，將x₂=﹣代入y=x﹣，

解得y=﹣

∴直線MN與拋物線有兩個交點M、H，

∴拋物線上存在點H，滿足∠AMH=90°，

此時點H的坐標為（﹣，﹣）．

【點評】本題考察了二次函數(shù)綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用圖形割補法求面積是解題關(guān)鍵，（3）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出=是解題關(guān)鍵，解方程組是此題的難點．