Question

如圖，已知直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA＝AB＝2，OC＝3，過點B作BD⊥BC，交OA于點D.將∠DBC繞點B按順時針方向旋轉，角的兩邊分別交y軸的正半軸與x軸的正半軸于E、F兩點．

(1)求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；

(2)當BE經過(1)中拋物線的頂點時，求CF的長；

(3)連接EF，設△BEF與△BFC的面積之差為S，問：當CF為何值時S最小，并求出這個最小值．

Answer 1

解：(1)由題意可得A(0,2)，B(2,2)，C(3,0)，

設所求拋物線的解析式為y＝ax²＋bx＋c，

則　解得

∴拋物線的解析式為y＝－x²＋x＋2.

(2)設拋物線的頂點為G，則G(1，)．如圖，過點G作GH⊥AB，垂足為H，則AH＝BH＝1，GH＝－2＝.

∵EA⊥AB，GH⊥AB，

∴EA∥GH.

∴GH是△BEA的中位線，

∴EA＝2GH＝.

過點B作BM⊥OC，垂足為M，則BM＝OA＝AB.

∵∠EBF＝∠ABM＝90°，

∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF，

∴Rt△EBA≌Rt△FBM，∴FM＝EA＝.

∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，∴CF＝FM＋CM＝.

(3)設CF＝a，則FM＝a－1或1－a，同時0<a<3

∴BF²＝FM²＋BM²＝(a－1)²＋2²＝a²－2a＋5.

∵△EBA≌△FBM，∴BE＝BF.

則S_△BEF＝BE×BF＝BF²＝(a²－2a＋5)，

又∵S_△BFC＝FC×BM＝×a×2＝a，

∴S＝(a²－2a＋5)－a＝a²－2a＋，

即S＝(a－2)²＋，

∴當a＝2(在0<a<3范圍內)時，S_最小值＝.