Question

（2013•道里區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠A=45°，點D為AC中點，DE⊥AB于點E，BE=BC，BD=

87

，則AC的長為

4

6

．

Answer 1

分析：設AE=x（x＞0），BE=BC=y（y＞0），在Rt△BDE中，利用勾股定理可得x²+y²=87…①，在△ABC中，利用余弦定理可化簡出y=

5

2

x…②，聯(lián)合①②可求出x的值，繼而得出AC的長．

解答：解：設AE=x（x＞0），BE=BC=y（y＞0），
∵∠A=45°，DE⊥AB，
∴AE=DE=x，
在Rt△BDE中，BD²=BE²+DE²，即x²+y²=87…①，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=

2

x，
又∵D為AC中點，
∴AC=2

2

x，
在△ABC中，由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cosA，
即y²=（x+y）²+8x²-2（x+y）×2

2

x×

2

2

，
整理得：5x²-2xy=0，
解得：y=

5

2

x…②，
將②代入①得：x=2

3

，
∴AC=2

2

x=4

6

．
故答案為：4

6

．

點評：本題考查了余弦定理及勾股定理的知識，解答本題需要同學們掌握余弦定理的表達式，勾股定理的表達式，綜合性較強，注意將所學知識融會貫通．