Question

【題目】已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，E分別是x軸和y軸上的任意點(diǎn). BD是∠ABE的平分線，BD的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)C.

探究： （1）求∠C的度數(shù).

發(fā)現(xiàn)： （2）當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在x軸和y軸的正半軸上移動(dòng)時(shí)，∠C的大小是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；若發(fā)生變化，請(qǐng)求出∠C的變化范圍.

應(yīng)用：（3）如圖2在五邊形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝310°，CF平分∠DCB，CF的反向延長(zhǎng)線與∠EDC外角的平分線相交于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）∠C=45°；（2）不變.∠C=∠AOB =45°； (3) 25°.

【解析】

（1）先確定∠ABE與∠OAB的關(guān)系，∠ABE=∠OAB+90°，再根據(jù)角平分線和三角形的外角求得∠ACB的度數(shù)；

（2）設(shè)∠DBC=x，∠BAC=y，再根據(jù)BC平分∠DBO，AC平分∠BAO可知∠CBO=∠DBC=x，∠OAC=∠BAC=y．再由∠DBO是△AOB的外角，∠DBC是△ABC的外角可得出關(guān)于x、y，∠C的方程組，求出∠C的值即可；

（3）延長(zhǎng)ED，BC相交于點(diǎn)G，易求∠G的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論.

（1）∵∠ABE=∠OAB+∠AOB，∠AOB =90°，

∴∠ABE=∠OAB+90°，

∵BD是∠ABE的平分線，AC平分∠OAB，

∴∠ABE=2∠ABD，∠OAB=2∠BAC，

∴2∠ABD=2∠BAC+90°，

∴∠ABD=∠BAC+45°，

又∵∠ABD= ∠BAC +∠C，

∴∠C=45°．

（2）不變.∠C=∠AOB =45°.

理由如下：

設(shè)∠DBA=x，∠BAC=y，

∵BD平分∠EBA，AC平分∠BAO．

∴∠EBD=∠DBA=x，∠OAC=∠BAC=y．

∵∠EBA是△AOB的外角，∠DBA是△ABC的外角，

∴，

∴∠C=45°．

(3) 延長(zhǎng)ED，BC相交于點(diǎn)G.

在四邊形ABGE中，

∵∠G＝360°－(∠A＋∠B＋∠E)＝50°，

∴∠P＝∠FCD－∠CDP＝ (∠DCB－∠CDG)

＝∠G＝×50°＝25°.