試求出這樣的四位數(shù),它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位數(shù)之和的平方,恰好等于這個四位數(shù).
【答案】
分析:設前后兩個二位數(shù)分別為x,y,則有(x+y)
2=100x+y,將此方程整理成關于x(或y)的一元二次方程,在方程有解的前提下,運用判別式確定y(或x)的取值范圍.
解答:解:設前后兩個二位數(shù)分別為x,y,
∴(x+y)
2=100x+y.
x
2+2(y-50)x+(y
2-y)=0.
b
2-4ac=4(y-50)
2-4(y
2-y)=4(2500-99y)≥0,
解得y≤25

,
當y≤25

時,原方程有解.
∴x=

=50-y±

,
∴2500-99y必為完全平方數(shù),
∵完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能為0;1;4;5;6;9.x的數(shù)位是2位,y是2位.
∴y=25,
∴x=30或20,
∴所求的四位數(shù)為3025或2025.
點評:考查完全平方數(shù)的知識;得到前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位數(shù)之和的平方的等量關系是解決本題的關鍵;判斷出y的值是解決本題的難點.