Question

已知，正方形ABCD中，△BEF為等腰直角三角形，且BF為底，取DF的中點(diǎn)G，連接EG、CG．

（1）如圖1，若△BEF的底邊BF在BC上，猜想EG和CG的數(shù)量關(guān)系為              ；

（2）如圖2，若△BEF的直角邊BE在BC上，則（1）中的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖3，若△BEF的直角邊BE在∠DBC內(nèi)，則（1）中的結(jié)論是否還成立？說(shuō)明理由．

            

圖1                     圖2                      圖3

Answer 1

（1）GC =EG．

（2）如圖，延長(zhǎng)EG交CD于M，

易證△GEF≌△GMD，得G為EM的中點(diǎn)．

易得CG為直角△ECM的斜邊上的中線．

于是有GC＝GE．

（3）如圖，延長(zhǎng)EG到M，使EG=GM，連接CM、CE．

易證△EFG≌△MDG，則EF=DM、∠EFG=∠MDG．

∵∠DBE+∠DFE+∠BDF=90°，

∴∠DBE+∠GDM+∠BDF=90°． ∴∠MDC+∠DBE=45°．

∵∠EBC+∠DBE=45°，      ∴∠EBC=∠MDC．

進(jìn)而易證△CBE≌△CDM，   ∴EC=CM、∠ECB=∠MCD．

易得∠ECM=90°，        ∴CG為直角△ECM斜邊EM的中線．

∴EG=GC．

其他證法：（1）EG =CG．

（2）成立．     

證明：過(guò)點(diǎn)F作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連結(jié)MG．

∴EF=CM，易證EFMC為矩形       ∴∠EFG=∠GDM．

在直角三角形FMD中，  ∴DG=GF，   ∴FG=GM=GD．

∴∠GMD=∠GDM．      ∴∠EFG=∠GMD． 

∴△EFG≌△GCM．

∴EG=CG．    

（3）成立．取BF的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，GH，取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)OG，OC．

∵CB=CD，∠DCB=90°，∴．

∵DG=GF，

∴CO=GH．∵△BEF為等腰直角三角形．

∴． ∴EH=OG．

∵四邊形OBHG為平行四邊形，  ∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°．

∴∠GOC=∠EHG． ∴△GOC≌△EHG． 

∴EG=GC．