Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC的底邊BC的長(zhǎng)為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，若點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△BDM的周長(zhǎng)的最小值為_____．

Answer 1

【答案】8

【解析】

連接AD交EF與點(diǎn)M′，連結(jié)AM，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知AM=MB，則BM+DM=AM+DM，故此當(dāng)A、M、D在一條直線上時(shí)，MB+DM有最小值，然后依據(jù)要三角形三線合一的性質(zhì)可證明AD為△ABC底邊上的高線，依據(jù)三角形的面積為12可求得AD的長(zhǎng)．

解：連接AD交EF與點(diǎn)M′，連結(jié)AM．

∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BCAD=×4×AD=12，解得AD=6，
∵EF是線段AB的垂直平分線，
∴AM=BM．
∴BM+MD=MD+AM．
∴當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)M′處時(shí)，MB+MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周長(zhǎng)的最小值為DB+AD=2+6=8．

故答案為8.