Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x軸上，點A在y軸的正半軸上，點A，D的坐標分別為A（0，2），D（2，2），AB=2，連接AC．

（1）求出直線AC的函數(shù)解析式；

（2）求過點A，C，D的拋物線的函數(shù)解析式；

（3）在拋物線上有一點P（m，n）（n＜0），過點P作PM垂直于x軸，垂足為M，連接PC，使以點C，P，M為頂點的三角形與Rt△AOC相似，求出點P的坐標．

Answer 1

解：（1）由A（0，2）知OA=2，

在Rt△ABO中，∵∠AOB=90°，AB=2，

∴OB===2，

∴B（﹣2，0）．

根據(jù)等腰梯形的對稱性可得C點坐標為（4，0）．

設直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+n，

則，解得，

∴直線AC的函數(shù)解析式為y=﹣x+2；

（2）設過點A，C，D的拋物線的函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，

則，解得，

∴y=﹣x²+x+2；

（3）∵點P（m，n）（n＜0）在拋物線y=﹣x²+x+2上，

∴m＜﹣2或m＞4，n=﹣m²+m+2＜0，

∴PM=m²﹣m﹣2．

∵Rt△PCM與Rt△AOC相似，

∴==或==2．

①若m＜﹣2，則MC=4﹣m．

當==時，=，

解得m₁=﹣4，m₂=4（不合題意舍去），

此時點P的坐標為（﹣4，﹣4）；

當==2時，=2，

解得m₁=﹣10，m₂=4（不合題意舍去），

此時點P的坐標為（﹣10，﹣28）；

②若m＞4，則MC=m﹣4．

當==時，=，

解得m₁=4，m₂=0，均不合題意舍去；

當==2時，=2，

解得m₁=6，m₂=4（不合題意舍去），

此時點P的坐標為（6，﹣4）；

綜上所述，所求點P的坐標為（﹣4，﹣4）或（﹣10，﹣28）或（6，﹣4）．