Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0）兩點，與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點E，點D為頂點，連接BD、CD、BC．

（1）求證△BCD是直角三角形；
（2）點P為線段BD上一點，若∠PCO+∠CDB=180°，求點P的坐標(biāo)；
（3）點M為拋物線上一點，作MN⊥CD，交直線CD于點N，若∠CMN=∠BDE，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0）和B（3，0）兩點代入拋物線y=x2+bx+c中得：

，

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴C（0，﹣3），D（1，﹣4），

由勾股定理得：BC2=32+32=18，

CD2=12+（4﹣3）2=2，

BD2=（3﹣1）2+42=20，

∴CD2+BC2=BD2，

即∠BCD=90°，

∴△BCD是直角三角形

（2）

解：作PQ⊥OC于點Q，

∴∠PQC=90°，

∵∠PCO+∠CDB=180°，

∠PCO+∠PCQ=180°，

∴∠CDB=∠PCQ，

∵∠PQC=∠BCD=90°，

∴△PCQ∽△BDC，

∴ =3，

∴PQ=3CQ，

設(shè)CQ=m，則PQ=3m，

設(shè)P（3m，﹣3﹣m），

設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，

把B（3，0）、D（1，﹣4）代入得： ，

解得： ，

∴直線BD的解析式為：y=2x﹣6，

將點P的坐標(biāo)代入直線BD：y=2x﹣6得：

﹣3﹣m=2×3m﹣6，

m= ，

∴3m= ，﹣3﹣m=﹣3﹣ =﹣ ，

∴P（ ，﹣ ）；

（3）

解：∵∠CMN=∠BDE，

∴tan∠BDE=tan∠CMN= = ，

∴ ，

同理可求得：CD的解析式為：y=﹣x﹣3，

設(shè)N（a，﹣a﹣3），M（x，x2﹣2x﹣3），

①如圖2，過N作GF∥y軸，過M作MG⊥GF于G，過C作CF⊥GF于F，

則△MGN∽△NFC，

∴ = ，

∴ =2，

則 ，

∴x1=0（舍），x2=5，

當(dāng)x=5時，x2﹣2x﹣3=12，

∴M（5，12），

②如圖3，過N作FG∥x軸，交y軸于F，過M作MG⊥GF于G，

∴△CFN∽△NGM，

∴ = ，

∴ = = ，

則 ，

∴x1=0（舍），x2= ，

當(dāng)x= 時，y=x2﹣2x﹣3=﹣ ，

∴M（ ，﹣ ），

綜上所述，點M的坐標(biāo)（5，12）或（ ，﹣ ）．

【解析】（1）先利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，并配方成頂點式求頂點D的坐標(biāo)，和與y軸的交點C的坐標(biāo)，由勾股定理計算△BDC三邊的平方，利用勾股定理的逆定理證明△BCD是直角三角形；（2）作輔助線，構(gòu)建直角三角形PCQ與直角三角形BDC相似，根據(jù)比例式表示出點P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線BD的解析式，因為點P為線段BD上一點，代入直線BD的解析式列方程可求出點P的坐標(biāo)；（3）同理求直線CD的解析式為：y=﹣x﹣3，由此表示點N的坐標(biāo)為（a，﹣a﹣3），因為M在拋物線上，所以設(shè)M（x，x2﹣2x﹣3），根據(jù)同角的三角函數(shù)得：tan∠BDE=tan∠CMN= ，則 ，
如圖2，證明△MGN∽△NFC，列比例式可得方程組解出即可；
如圖3，證明△CFN∽△NGM，列比例式可得方程組解出即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．