Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC為銳角，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)，以AD為直角邊且在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．

（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，如圖1，線段CE、BD的位置關(guān)系為___________，數(shù)量關(guān)系為___________

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．

（2）如圖3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動。探究：當(dāng)∠ACB多少度時，CE⊥BC？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①垂直，相等．②都成立，理由見解析；（2）45°，理由見解析

【解析】

試題（1）①根據(jù)∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，運(yùn)用“SAS”證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，即可得到線段CE、BD之間的關(guān)系；
②先根據(jù)“SAS”證明△ABD≌△ACE，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，即可得到①中的結(jié)論仍然成立；
（2）先過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，畫出符合要求的圖形，再結(jié)合圖形判定△GAD≌△CAE，得出對應(yīng)角相等，即可得出結(jié)論．

試題解析：

解（1）：（1）CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD，數(shù)量關(guān)系是CE=BD．
理由：如圖1，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
又 BA=CA，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD．
∵∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD．
故答案為：垂直，相等；

②都成立，理由如下：

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△DAB與△EAC中，

∴△DAB≌△EAC，

∴CE＝BD，∠B＝∠ACE，

∴∠ACB＋∠ACE＝90°，即CE⊥BD；

（2）當(dāng)∠ACB＝45°時，CE⊥BD（如圖）．

理由：過點(diǎn)A作AG⊥AC交CB的延長線于點(diǎn)G，則∠GAC＝90°，

∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，

∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，

∴∠ACB＝∠AGC＝45°，

∴AC＝AG，

在△GAD與△CAE中，

∴△GAD≌△CAE，

∴∠ACE＝∠AGC＝45°，

∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝45°＋45°＝90°，即CE⊥BC．