Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ABC＝90°

（1）在BC邊上找一點(diǎn)P，作⊙P與AC，AB邊都相切，與AC的切點(diǎn)為Q；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）

（2）若AB＝4，AC＝6，求第（1）題中所作圓的半徑；

（3）連接BQ，第（2）題中的條件不變，求cos∠CBQ的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）r＝；（3）

【解析】

（1）作∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)P，作PQ⊥AC于Q，以P為圓心，PQ為半徑作⊙P即可．
（2）利用面積法求解即可．
（3）證明∠CBQ=∠BAP，可得cos∠CBQ=cos∠BAP=，由此計算即可．

解：（1）如圖，⊙P即為所求．

（2）在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝6，

∴BC＝＝2，

∵PA平分∠BAC，PB⊥BA，PQ⊥AC，

∴PB＝PQ，設(shè)PB＝PQ＝r，

∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，

∴×4×2＝×4×r+×6×r，

∴r＝．

（3）∵∠ABP＝∠AQP＝90°，AP＝AP，PB＝PQ，

∴Rt△APB≌Rt△APQ（HL），

∴AB＝AQ，∵PB＝PQ，

∴PA垂直平分線段BQ，

∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠BAP+∠APB＝90°，

∴∠CBQ＝∠BAP，

∴cos∠CBQ＝cos∠BAP＝＝＝．