Question

【題目】已知：如圖，直線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，線段OA的長(zhǎng)是方程的一個(gè)根，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

求點(diǎn)B坐標(biāo)；

雙曲線與直線AB交于點(diǎn)C，且，求k的值；

在的條件下，點(diǎn)E在線段AB上，，直線軸，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或或．

【解析】

解方程得：，或，得出，，代入求出，即可得出；

在中，由勾股定理求出，過(guò)點(diǎn)C作軸于H，則，由平行線得出∽，得出，求出，，得出，，代入雙曲線切線即可；

分兩種情況：當(dāng)CE為以C、E、M、N為頂點(diǎn)的矩形的一邊時(shí)，由矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)得出點(diǎn)N的坐標(biāo)為或；

當(dāng)CE為以C、E、M、N為頂點(diǎn)的矩形的對(duì)角線時(shí)，由矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)得出點(diǎn)N的坐標(biāo)為或．

解：解方程得：，或，

線段OA的長(zhǎng)是方程的一個(gè)根，

，，

代入得：，

，

；

在中，，，

，

過(guò)點(diǎn)C作軸于H，如圖1所示：

則，

∽，

，

即，

解得：，，

，

，

雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，

；

存在，理由如下：

分兩種情況：

當(dāng)CE為以C、E、M、N為頂點(diǎn)的矩形的一邊時(shí)，過(guò)E作軸于G，作交直線l于M，如圖2所示：

則，

∽，

，

，，

，

，

，

設(shè)直線EM的解析式為，

把點(diǎn)代入得：，

解得：，

直線EM的解析式為，

當(dāng)時(shí)，，

，

，

，

點(diǎn)N的坐標(biāo)為；

當(dāng)CE為以C、E、M、N為頂點(diǎn)的矩形的一邊時(shí)，同理得出滿足條件的另一點(diǎn)N的坐標(biāo)為；

當(dāng)CE為以C、E、M、N為頂點(diǎn)的矩形的對(duì)角線時(shí)，作于G，于H，如圖3所示：

則，，，

四邊形EMCN是矩形，

，

由角的互余關(guān)系得：，

∽，

，

，

又，

，，

的坐標(biāo)為，

，，

；

當(dāng)CE為以C、E、M、N為頂點(diǎn)的矩形的對(duì)角線時(shí)，同理得出滿足條件的另一點(diǎn)N的坐標(biāo)為；

綜上所述：存在以C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或或．